表面積一定の四面体で最大体積のものは正四面体

四面体のうちで、周囲の面積が一定のものの中で、体積が最大のものは 正四面体

この証明を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/10/14 10:53

そんなに難しくないように思う。

。。。。。？

底の三角形は円に内接する事が出来るから、円に内接する三角形のうちで面積が最大のものは正三角形。
この証明は簡単だろう。
sinθは　0＜θ＜πにおいて上に凸関数関数だから、3つの角：α、β、γ　に対して　sinα＋sinβ＋sinγ≦3sin（α＋β＋γ）/3　が成立するから、最大値が求められる。
そこで、四面体の高さを変数にとって　体積の最大値を考える。
そのときに、周囲の面積が一定＝上の3つの三角形の面積が一定　という条件がをどのように使うか、考えるところだろう。
時間がないから、ゆっくり考えられないんだが　その方針で行けるように見えるんだが　駄目かな？

No.3 回答者： momordica 回答日時： 2011/10/15 11:12

私も具体的にやってみてはいないのですが。

四面体の表面積を一定に保ったまま辺の長さや辺のなす角度などのパラメータを変えて
四面体を変形するというのは、なかなか大変だと思います。
ですから、逆に四面体の体積を一定に保ったまま変形して、表面積が最小になる
場合を探すのがよいのではないかと思います。

体積が一定の四面体のうち表面積が最小になるのが正四面体であることを示せば、
表面積が一定の四面体のうち体積が最大になるのも正四面体であると言えますから。

No.1 回答者： mlmgr6859 回答日時： 2011/10/14 05:18

代数の考えで。

ただの四面体は三角形の形が自由。
隣り合う面は、同じ長さの辺を共有。

辺六本を六個の変数にして、そのときの面積と体積を文字式で表す。

体積÷面積

の文字式を最大にする六個の変数が出れば良さそう。
でも三角形の面積から出し方が難しそう。
底辺に頂点から高さ方向の補助線を引いて、直角三角形を二個つくり、３平方の定理から高さを決定すれば出来るかも。

あと六変数に立体を組むための制約がつくはず。
三角形は二辺の長さの和より、残り一辺が短い必要ありとか。

ほかの、四面体を一意に限定する方法として、
直交座標のxyz方向で、
底面三角形の底辺x方向と高さy方向と垂線の底辺内の位置x方向、
四面体の底面三角形からの高さz方向と垂線の底面内の位置x方向y方向、
の六変数で、表面積と体積を文字式で表して、

体積÷表面積

を最大にする条件を探せば良さそう。


辺が全部一緒で、面が正三角形だと確認できれば証明したことになると思います。

考え方までは考えました。

実際にやると解けないかも。

そういうときは、
表面積当りの体積最大は球だという話を知っているから、球に近いように対称形を探すと正四面体だから、
きっと正四面体が体積最大でしょう、自明って書いて、設問者の意図に反したとしてバッテンを貰って、答えを見せてもらいましょう。

上記の提案をしてみました。