熱膨張係数：　冷却して収縮するときは使えない？

Question

単純な問題かも知れませんが、真剣に頭を抱えております。

熱した物質を冷却して、もともとの温度に戻しても計算上体積が同じになりません・・・

ある温度T1において体積Vの物質があり、その熱膨張係数がαだとします。
これを加熱し、ΔTだけ温度が異なるT2の状態とします。このときの体積は
V + VαΔTとなるかと思います。

さて、このT2から、T1に温度を戻した場合、つまりΔT分だけ冷却した場合
熱膨張係数αをそのまま使わせてもらうと、T2での体積を考え、計算上は
T1に戻ったときの体積は

V + VαΔT - (V + VαΔT) x αx ΔT
と表され、整理すると・・
V - V (αΔT)^2
となり、もともとの体積Vに戻りません。

式を立てた時点で、もうVには戻らないことは目に見えていたのですが、
どうすればこの状況を理解できるのかが、分からず、是非教えて頂ければと思います。

どうぞ宜しくお願い致します。

endlessriver · Accepted Answer

以下の議論をまとめてみます。

＃１の方は質問のαΔTを使用した疑問にから、はずれています。つまり、体積を温度の関数V=f(T)としたとき、V1=f(T1),V2=f(T2)となり、各温度T1,T2では体積V1,V2をとると言っているだけです（αΔTを使っているようにみえるが）。

＃２の方の式は、元の体積にかかわらず膨張体積は一定なので、もとに戻るのです。現実の膨張と一致しません。

＃３の方の議論で、正確な式を使うと、ΔT=T2-T1として、V2=V1exp(αΔT)。V2の温度を下げれば　V2exp(-αΔT)=V1
となります。

drmuraberg · Answer

今までの議論をまとめるために、簡単な例を考えてみます。
１）１００円で仕入れた物を、その１割の利益を見て１１０円で売ろうとしました。
売れないので仕入分だけでも回収しようとして表示価格の１割引で売りました。
手許には99円戻りました。あれ？
２）１００円で仕入れた物を、寒いと売れる物なのでその５割の利益を見て１５０円で売ろうとしました。
暖かく成って売れないので損失回避のため表示価格の５割引きで売りました。
手許には８５円戻りました。あれ、あれ！？
問題なのはa)同じ利益率で計算している事とb)利益率が大きいほど外れが大きくなることです。

物理の問題に置き換えて見ましょう。

ここで、体積Ｖは温度Ｔだけの関数であるとしてV(T) と置き、
温度がΔTだけ上昇した時を考えます。
V(T+ΔT) = V(T){1 + (dV/dT)ΔT + (d^2V/dT^2)ΔT^2/2 +・・・・}
= V(T) {1+ αΔT + O1(ΔT^2)+ O3(ΔT^3)}
ここでα= dV/dT、O(ΔT^2) はΔT の2次以上の偶数べき項を、
O(ΔT^3) はΔT の3次以上の奇数べき項をまとめたものです。

基準温度T=T1 とし、V1=V(T1) から V2=V(T2) 、T2=T1+ΔTに温度が上昇したとすれば
V2=V(T1) {1+ αΔT + O1(ΔT^2)+ O3(ΔT^3)}
ここで、T2からT1に温度が下がったとすれば
V1=V2{1- αΔT + O1(ΔT^2)- O3(ΔT^3)}
= V1 {1+ αΔT + O1(ΔT^2)+ O3(ΔT^3)} {1- αΔT + O1(ΔT^2)- O3(ΔT^3)}
=V1{1-α^2ΔT^2 + 2 O1(ΔT^2)+ O’2(ΔT^3)+・・・・・}
O’3(ΔT^3) は改めてΔT の3次以上のべき項をまとめたものです。
ここで左辺と右辺が等しく成るためには｛　｝内の第2と第3項以下が相殺しなければ
成りません。

以上をまとめると、それぞれの回答は次の様に解釈できます。
回答Ｎｏ．１：Ｔ１→Ｔ２→Ｔ１はΔＴ＝０だから体積は変化しない。　回答？
回答Ｎｏ．２：第二項までの近似で切っても、(dV/dT)=(V2-V1)/(T2-T1)とすればＯＫ。
回答Ｎｏ．３：第二項で切るのはあくまでも近似で、第三項以下の項も考慮すればＯＫ。
　　　　　　　　この回答はＮｏ．３と同じベース。

値引きの例に戻ると、αΔＴが小さいほど近似の精度は高くなります。
金属ではαΔＴ<<1ですので、その２乗は無視して良い大きさとなります。

rnakamra · Answer

簡単に言ってしまえば

> ΔTだけ温度が異なるT2の状態とします。このときの体積は
> V + VαΔTとなるかと思います

これが近似に過ぎないからです。
近似の1次項だけを取っているのですから2次までの計算をすればずれて当たり前。むしろずれないほうがおかしい。

膨張係数の定義式
(1/V)*dV/dT=α
でαが一定であれば、
V=V0*exp(αT)
となります。この式を1次まで展開したものが
V=V0+V0αT
なのです。つまりもともとの式が1次までの項までを取った近似式であるということなのです。

sat000 · Answer

そう考えるよりも、元々の体膨張係数の意味を思い返しましょう。
温度T1の時に体積V1、温度T2の時に体積V2とすると体膨張係数a (αは面倒なのでaと書きます) は、
a = (V2-V1)/(T2-T1)
と書けると思います。
温度T1からT2に変化させると、体積は、
V=V1+a（T2-T1)=V1+(V2-V1)=V2
となります(まあ当たり前ですね)。
逆にT2からT1に変化させると、
V=V2+a(T1-T2)=V2-(V2-V1)=V1
となり、元に戻ります。
αΔTを残したままにしているので、話がこんがらがるのだと思います。

ZET235711 · Answer

熱膨張係数，即ち、熱膨張率は，ある基準の状態からの変化分で表されます．

T=0の時を基準として，その時の体積をV0，熱膨張率がαとすると，

T=T1での体積V1は，

V1 = V0(1 + αΔT)
 = V0 { 1 + α( T1 - 0 ) }　（∵ΔＴ= T1 - 0 = T1）
 = V0 ( 1 + αT1)
∴　V1 = V0 ( 1 + αT1)　．．．．（１）

T=T2での体積V2は，
ΔＴ= T2 - 0 = T2 より，
V2 = V0(1 + αΔT)
 = V0{1 + α(T2-0 ) }
 = V0(1 + αT2 )

となります．

さて，T = T2 から，T = T1に戻した時の体積Vは，
ΔＴ= T1 - T2ではなく，ΔT=T1 - 0 = T1より，
V = V0{1 + α( T1 - 0 ) }
  = V0(1 + αT1)
  = V1 ( ∵　V1 = V0 ( 1 + αT1)　)

となり，完全な閉鎖系であれば体積は元に戻ります．

熱膨張係数： 冷却して収縮するときは使えない？

今までの議論をまとめるために、簡単な例を考えてみます。

以下の議論をまとめてみます。

簡単に言ってしまえば

そう考えるよりも、元々の体膨張係数の意味を思い返しましょう。

熱膨張係数，即ち、熱膨張率は，ある基準の状態からの変化分で表されます．

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

熱膨張係数：　冷却して収縮するときは使えない？