No.7ベストアンサー
- 回答日時:
terupeさん、こんにちは。
下で私が書いた面倒な計算は不要です。もっと簡単に求まります。といってもベクトルの内積お概念は必要ですが…三角形の二等辺の間の角θで表わした方が便利だと思います。三角が底面となす角をφとするとcosφ・tan(π/8) = tan(θ/2)
から底辺のテーパが決まります。三角形に垂直なベクトルの間の角は次の様に考えられます。底辺の中点から頂点に向かう単位ベクトルをpとし、側面の三角形の面に垂直な単位ベクトルをn、錐体の側面の辺から中心軸の方向に向かいpに垂直なベクトルをtとします。nとtの間の角が求めたいテーパの角です。底面の八面体の一つの辺をy軸に平行に置くと、
n=(-1,0,nz)
t=(-cos(π/8),-sin(π/8),tz)
とおけます。三角が底面となす角をφとすると
a=(-cosφ,0,-sinφ)
で、n・a=t・a=0でなければならないから、
n=(-1,0,1/tanφ)
t=(-cos(π/8),-sin(π/8),cos(π/8)/tanφ)
になります。これからnとtの間の角をψとすると
cosψ = cos(π/8)/√(sin^2φ + cos^2(π/8)cos^2φ)
この式はφ=0でψ=π/2, φ=π/2でψ=π/8となり正しい値を与えています。θ=40゜=0.69813(rad) のとき、
cosφ・tan(π/8) = tan(θ/2)
よりφ = 0.4976665 (rad)で、
π/2 - φ = 1.0731298 (rad)
が底辺のテーパ角です。頂点を挟む辺のテーパは上の式より
ψ = 0.195217 (rad)
になります。
No.6
- 回答日時:
terupeさん、こんにちは。
三角形の形を先に決めるのですからテーパはRとHでなく、三角形の二等辺の間の角θで表わした方が便利だと思います。三角が底面となす角をφとするとcosφ・tan(π/8) = tan(θ/2)
から底辺のテーパが決まります。この式は三平方の定理を何回か使うと求まります。三角形に垂直なベクトルの間の角は次の様に考えられます。底面の正八角形をABCDEFGHとし、その中心をO、八角錐の頂点をHとします。ベクトルOAをa、ベクトルOBをb、ベクトルOCをcとします。またOを始点とし、Hを終点とするベクトルをhとします。a,b,cの大きさを1とすると
(a,b)=cos(π/4)=1/√2, |a×b|=sin(π/4)=1/√2
(a,h)=(b,h)=0
c = √2b-a
となります。八角錐の側面の辺はa-h, b-hなどになり、
(a-h,a-h)=a^2 - h^2 = 1 + h^2
(a-h,b-h)=(a,b) - h^2 =1/√2 + h^2
よって二等辺三角形の錐体の頂点と接している角をθとすると
cosθ = (a-h,b-h)/|a-h|・|b-h|
=(1/√2 + h^2)/(1 + h^2)
a×hは大きさが|h|で向きは-cだから
a×h = |h|(a-√2b)
同様に
b×h = |h|(√2a-b)
三角形に垂直なベクトルを求めるために外積を計算すると
(a-h)×(b-h)=a×b-a×h-h×b
=n/√2 -|h|(a-√2b)+|h|(√2a-b)
|(a-h)×(b-h)|=√((2-√2)h^2 +1/2)
ただしnはh方向の単位ベクトルをnとします。同様に
(b-h)×(c-h)も計算し、この二つのベクトルの間の角を求めることで原理的には二等辺三角形の頂点を挟む辺のテーパが求められるはずだと思います
一番求めていた答えには違いないのですが、・・ベクトルって高校でやらなかったんです。だから理解できない・・意外とたいへんなことになっちゃいました。
どうも有り難うございます
No.5
- 回答日時:
#4です、以下で、記号の意味は前回の回答のものと同じとします。
とんがり帽子を構成する8つの二等辺三角形の底辺のテーパβは次の式で求まります。
β=cos-1(R*cos(22.5°)/C)=cos^-1(R*√(2+√2)/(2*√(R^2+H^2)))
つぎに、二等辺三角形の頂点を挟む辺のテーバαの求め方を説明します。
空間座標O-XYZでZ軸上に点T(0,0,H)を、また、
XY平面の第一象限に3つの点P(R,0,0),Q(R/√2,R/√2,0),S(0,R,0)をとり、
この空間の△TPQ、△TQSにぴったりと合うように、テーパを正しく施した
2つの上記二等辺三角形を配置したとします。
△TPQ、△TQSの平面は、それぞれ、下式(1)、(2)で表すことができます。
x+(√2-1)y+(R/H)z=R---(1)
(√2-1)x+y+(R/H)z=R---(2)
また、△TPQ、△TQSの平面に直交するベクトルV,Wは、
それぞれ、平面の式(1)(2)から、直ちに下式(3)、(4)で表せます。
ただし、平面に直交するベクトルは無限にありますので、下記はそのひとつにすぎません。
V=(1,√2-1,R/H)---(3)
W=(√2-1,1,R/H)---(4)
平面△TPQ、△TQSの交わる角φは、上記ベクトルV,Wの内積を使って、
次のように式(5)で求まります。
V・W=|V|*|W|*cos(φ)=|V|*|W|cos(V,W)
∴cos(φ)=V・W/(|V|*|W|)=(((√2-1)+(√2-1)+(R/H)^2))/(1+(√2-1)^2+(R/H)^2)
∴cos(φ)=((2*(√2-1)+(R/H)^2))/(2*(2-√2)+(R/H)^2)
∴φ=cos^-1(((2*(√2-1)+(R/H)^2))/(2*(2-√2)+(R/H)^2))---(5)
したがって、二等辺三角形の頂点を挟む辺のテーバαは、式(6)で求まります。
α=90°-(φ/2)
=90°-(cos^-1(((2*(√2-1)+(R/H)^2))/(2*(2-√2)+(R/H)^2)))/2---(6)
ちなみに、H→∞とすると、α=90°-cos^-1(1/√2)/2=67.5°
一方、H→0とすると、α=90°-cos^-1(1)/2=90°
したがって、デーパαは、67.5°~90°の間となります。
No.4
- 回答日時:
作ろうとされている正八角錐のとんがり帽子の
底面に外接する円の半径をR、
この底面円の中心からとんがり帽子の天辺までの高さをHとします。
つぎに、側面を構成するひとつの二等辺三角形の、
【底辺の長さの半分】をA、頂点を挟む辺の長さB、
頂点から底辺におろした垂線の長さCと
すると、次の関係が成立します。
A=R*sin(45°/2)=R*√(2-√2)/2≒0.3827*R
B=√(R^2+H^2)---ピタゴラスの定理から
C=√(B^2-A^2)---ピタゴラスの定理から
頂点Aの角度Θは、2*sin-1(A/B)
底角は、(180-Θ)/2あるいはcos-1(A/B)
板に厚さがありますので、
二等辺三角形の頂点を挟む両側の辺に≒67.5°のテーパを
つける必要があります。
有り難うございます。まさにそのテーパーの角度を出したかったのです。二等辺三角形の底辺につけるテーパーは
頂点Aの角度Θは、2*sin-1(A/B)
底角は、(180-Θ)/2あるいはcos-1(A/B)
でいいと思うのですが、両辺の67.5°というのは、どうやって導いたのですか?
ホントに数学バカなんで、的外れなこと聞いていたらごめんなさい。
No.1
- 回答日時:
こんにちわ。
一応、数学&情報学科を卒業したのですが、結局、情報」を選考してしまい、同じく数学を忘れ去ろうとしているものです(笑)
1つ、確認したいのですが、terupeさんは、「正多角錐」を作成したいんですよね?違ったら、この回答は無視してください^^;
私の記憶では、正多角錐は、5通りしかなかったはずです。その中に、確か、八角錐もありました。ということで、記憶の糸をたどって計算してみると、こんな感じになりました。
正多面体の中心を O, 一つの面の中心を C, その面の一頂点を A, それを橋とする一辺の中点を B, 面が正 p 角形, 頂点が正 q 角錐とするとき
∠BOC + ∠COA + ∠AOB = (10 - p - q)π/4.
ではないでしょうか?
違ったらごめんなさい~~~
この回答への補足
いや、お礼で、正多角錐ではないとかいたけれど、そもそも正多角錐とはなんぞや?、多の方の回答を見るうちに自信なくなってきました、すいません。数学どころか算数がわからないようです。すいません。
補足日時:2003/11/18 20:09えーと正多角錐ではないのですよ。ただの角錐で、二等辺三角形の形をさきに決めて、そこから角錐の頂角やら、厚みのある板につけるテーパーやらをだしたかったのです。どうも有り難うございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるあるをこちらに投稿してください
-
フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
あなたが普段思っている「これまだ誰も言ってなかったけど共感されるだろうな」というあるあるを教えてください
-
映画のエンドロール観る派?観ない派?
映画が終わった後、すぐに席を立って帰る方もちらほら見かけます。皆さんはエンドロールの最後まで観ていきますか?
-
海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
帰国して1番食べたくなるもの、食べたくなるだろうなと思うもの、皆さんはありますか?
-
天使と悪魔選手権
悪魔がこんなささやきをしていたら、天使のあなたはなんと言って止めますか?
-
三角錐の稜線の角度の出し方。
数学
-
四角錐台の折り曲げ角度の求め方
数学
-
正5角錐を作るにあたり
クラフト・工作
-
-
4
八角錐の展開図について
その他(教育・科学・学問)
-
5
四角すいの稜線角度
その他(暮らし・生活・行事)
-
6
三角錐の角度
数学
-
7
四角錐 曲げ角度
その他(プログラミング・Web制作)
-
8
角錐(四角錘)の展開図
DIY・エクステリア
-
9
三角錐
数学
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
- ・ゆるやかでぃべーと タイムマシンを破壊すべきか。
- ・歩いた自慢大会
- ・許せない心理テスト
- ・字面がカッコいい英単語
- ・これ何て呼びますか Part2
- ・人生で一番思い出に残ってる靴
- ・ゆるやかでぃべーと すべての高校生はアルバイトをするべきだ。
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・単二電池
- ・チョコミントアイス
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
定規で正三角形
-
平方根での問題なのですが。
-
三平方の定理で√にくくわれる方...
-
外接円が存在しない三角形って...
-
X軸方向の角度とY軸方向の角度...
-
三角錐の稜線の角度の出し方。
-
四角錐(ピラミッドのような形...
-
一辺が3センチの三角形の高さが...
-
直角三角形以外の三角形の辺の長さ
-
正5角錐を作るにあたり
-
立体の合同条件はあるのでしょうか
-
角錐(四角錘)の展開図
-
「下の図のような△ABCがある。2...
-
直角三角形ではない三角形の計...
-
中学の三平方の定理教えて下さい
-
三角比signθ→小数点
-
サッカーボールの体積と表面積...
-
三角錐の角度
-
正十二面体の展開図の見方
-
【急】数学の解説をお願いした...
おすすめ情報