平方根の解き方について、過去ログを参考にさせて頂き、だいたい
理解できたのですが、簡単な確認と質問をさせて下さい。
解き方には、筆算で求めるのとニュートン法とがあり、
筆算での求めかたについて(求めたい値は204)
下記のような感じであっていると思うのですが、
下記確認事項です。
間違っていたら、ご指摘お願い致します。
1)ルート内の求めたい数は、1の位から2桁ずつに区切る
204なら、2と04。もし4桁で2040なら、
20と40。2桁で20ならそのまま。一桁で2ならそのまま。
2)ルート内の求めたい数が小数点のついた数の場合
小数点のついているところから、2桁に区切る
20.4なら、20と4。2.04なら、2と04
3)計算をしていき、求めたい数204の次の2桁を
おろしてくる場合は、ルートの上に小数点をつける。
この場合なら、3段目の800の時に、ルートの上の数
14の後ろに小数点をつける
1 4.28
√ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
1 2|04|
1 1
__ _______
24 1 04
4 96
 ̄ ̄  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
282 800
2 564
 ̄ ̄ ̄  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
2848 23600
8 22784
 ̄ ̄ ̄ ̄  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
繰り返していく。
4)その他、これだけは気をつけておいた方がいいという
ことがあれば、教えて下さい。
5)ニュートン法というのが、過去ログを見ても理解
できませんでした。
こちらも覚えておいた方がいいのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
y0-k0さん、こんにちは。
開平法についてですね。
いい参考ページがなかったのですが、一つ紹介しておきます。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/root.htm
1 4.28
√ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
1 2|04|
1 1 ←この1は、1×1=1のです。
__ _______
24 1 04 ←この1は、2-1=1の1
4 96 2*×*が104に一番近く小さいものを探す
 ̄ ̄  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
282 800
2 564
 ̄ ̄ ̄  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
2848 23600
8 22784
 ̄ ̄ ̄ ̄  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
↑ これ、よくキレイに書けましたね!
やり方は、ばっちりです。
あと気をつければいいのは、分数なら有利化してからするといいですよ。
ニュートン法についての説明です。
微分が関係していますが、定数の√を取る計算なら、開平法でいいんじゃないでしょうか。
ご参考になればうれしいです。
http://hp.vector.co.jp/authors/VA013845/algorith …
参考URL:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/root.htm
ご回答ありがとうございます。
分数なら有利化ですか。
有利化ってなんでしたっけ?(泣)
ニュートン法は微分が関係してくるのですね。
微分や積分もすっかり忘れてしまいました・・・。
開平法だけでいいかな。。。
No.3
- 回答日時:
眠いので簡単に書きます。
質問の趣旨から外れるかもしれませんが、
筆算でやるとしたら開平法は効率が悪いです。
連分数展開やPellの方程式を使った方法の方が早いです。
後者の問題は、Pell方程式の根を求める必要がある事で、
そのためにニュートン法を併用することもあるでしょう。
念のため言っておきますと、ニュートン法は平方根を求める方法と言うよりも、方程式の根の近似計算を行う方法です。
#2に突っ込ませてもらいます。
>x の平方根を求めるということは,
>x^2 - 1 = 0 という方程式を解くことに相当します。
単なる書き間違いだと思いますが、以下の間違いですね。
・A の平方根を求めるということは,
x^2 - A = 0 という方程式を解くことに相当します。
通常非線型とは微分方程式の場合に使う言葉だと思います。それから、簡単な場合は手計算でやっても問題ないと思います。質問者も何十桁も出そうとしているのではないでしょうし。
ご回答ありがとうございます。
開平法は効率が悪いのですか~。
連分数展開・Pell方程式・・・難しそう(汗)
初めて聞きました。
ニュートン法は方程式の根の近似計算を行う方法なのですか。
近似値ってことは、開平法のようにきちんとした回答ではないってことでしょうか?
あと、#2の方ののお礼にも書きましたが、
x^2 - A= 0 の、「x^2」の「^」この記号?の意味が分からないんです・・・。
No.4
- 回答日時:
graphaffine さん,
ご指摘ありがとうございます。寝ぼけてました^^;
y0-k0 さん,
x^2 は 「x の2乗」の意味で使いました。
が,#2 で書いた式は間違いですので graphaffine さんの書き込みを参考にしてください。
「手計算でやるべきものではないです。」
についても,少々言い過ぎました。
手計算でやって出来ないわけではありません。
再度、ご回答ありがとうございます。
実際に「204」をニュートン法で計算して頂けない
でしょうか?
いまいちピンとこなくて・・・。
すみません。宜しくお願い致します。
No.5
- 回答日時:
y0-k0今日は。
#3のものですが、Pellの方程式を補足します。(連分数展開は多少長くなりますので、ご希望があれば書き込ませてもらいます)Pellの方程式とは、x^2-Ay^2=1の形の方程式の事です。
ここでAは平方因子を含まない自然数(言いかえると素数または相異なる素数の積)です。
この方程式の重要な点は、常に解が存在する事、また、(x,y)=(a,b)を一つの解とするとき、(x、y)=(2*a^2-1,2*x*y)---(#)もまた解になる事です。(これは計算で簡単に確かめられます。なお、*は掛け算を表わします)
2の平方根はx^2-2y^2=1を使って(近似値を)求めます。
x^2-2y^2=1の一つの解は(3,2)である事が分かります。
従って、(#)から、(17,12)もまた解になります。
同様に繰り返して、(577,408)(665857,470832)が得られれますが、このとき、665857/470832=1.41421356・・・となり、小数第8位まで正しい値が求まっています。
>開平法のようにきちんとした回答ではないってことでしょうか?
すみません、ちょっと意味が分かりません。きちんとした回答とは?
開平法も単なる近似計算である事は分かってますよね。
再度、ご回答ありがとうございます。
Pell方程式は、私には難しすぎるかも・・・。
>開平法も単なる近似計算である事は分かってますよね。
すみません。それすら知りませんでした(泣)
No.6
- 回答日時:
ニュートン法を用いて、√a(の近似値)を求める方法は、昔下記URLで書きました。
X(0)に適当な正の整数をセットし、
X(n+1)=(1/2){X(n) + a/X(n)}
の漸化式を計算すると、lim(n→∞)x(n)=√aがいえます。
ついでに、大域的収束性および2次収束性も書きました・・・
計算機の有効桁数の範囲で、精緻な計算が、少量の計算で求められるものと思っています。(√の計算とニュートン法がたまたま相性がよいだけですが・・・いや本当は本質的に相性がよいのですが^^;)
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=391499
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