利回りが異なる債券ＡとＢについて

利回りが異なる債券ＡとＢについて、単利計算による利回りがともに１％低下した場合、
双方の債券価格の変化の割合を比較すると、
利回りの低い債券Ａのほうが高い債券Ｂより大きい。

この説明の意味がよくわかりません。

表面利率：３％
償還年限：５年
発行価格：Ａは９０円、Ｂは８０円

応募者利回り：Ａは5.55％、Ｂは8.75％

上記応募者利回りがそれぞれ１％低下した場合

発行価格：Ａは81.58円（-8.42円）、Ｂは72.18円（-7.82円）
よって、Ａのほうが変化の割合は大きいということになるのでしょうか？

出典：パーフェクトFP技能士1級対策問題集学科編 C-8

No.1 ベストアンサー 回答者： Q_A_333 回答日時： 2011/11/05 18:30

まず債券の利回りの算出法を考えます。

満期には元本100円とクーポン（3円×5＝15円）が受け取れるので、受取額115円

発行価格が90円で受け取り額が115円であれば利回りは

{(115円－90円)÷90円}÷5年
＝{(25円÷90円)÷5年}
＝0.0555

発行価格をｐ、利回りをｙとすると

{(115－ｐ)÷ｐ}÷5＝ｙ　となるので

発行価格ｐ＝115÷(5ｙ+1)　で求められます。

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この式で利回りが１％低下した場合を計算します。

A：ｙ＝0.0455
発行価格ｐ＝115÷(5×0.0455＋1)
≒93.69

B：ｙ＝0.0775
発行価格ｐ＝115÷(5×0.0775＋1)
≒82.88

Aの債券価格の変化率は（93.69－90)÷90＝0.041 → 4.1％
Bの債券価格の変化率は（82.88－80)÷80＝0.036 → 3.6％

となるので変化率が大きいのはAとなります。

この回答への補足

ありがとうございます。
１％低下した場合の途中式が間違っていたようです。
利回りが下がったのに、発行価格も下がったらおかしいですもんね。

発行価格をｐとすると

{表面利率+(額面-発行価格)/償還年限}/発行価格*100=応募者利回り　※
{3+(100-p)/5}/p*100=0.0455
15+100-p=0.2275p
115=1.2275p
p=93.686…

※私の持っているテキストでは、公式をこのように書いてありました。

補足日時：2011/11/06 00:11

No.3 回答者： ok-2011 回答日時： 2011/11/07 10:47

ANo.1さんの回答で尽きていますが、参考のために文字式を使って少し一般的に示しておきます。

単利計算による利回りを r，発行価格を p，償還年数を n とします．r が r+Δr に変化し，それにともなって p が p+Δp になったとすると，償還される金額は変わらないので次式が成り立ちます．
p(1+nr) = (p+Δp){1+n(r+Δr)}．
右辺を変形して
　　　　　= p{1+n(r+Δr)}+Δp{1+n(r+Δr)}
　　　　　= p(1+nr)+pnΔr+Δp{1+n(r+Δr)}．
第一項は左辺と同じなので
pnΔr+Δp{1+n(r+Δr)} = 0．
これから
Δp/p = -nΔr/{1+n(r+Δr)}．
左辺の Δp/p は発行価格の変化の割合です．右辺では，r(>0) が小さいほど分母は小さく，そのため右辺の絶対値は大きくなります。よって発行価格の変化の割合は，利回りが低いほどその絶対値が大きいことになります。

No.2 回答者： Q_A_333 回答日時： 2011/11/06 01:31

＞私の持っているテキストでは、公式をこのように書いてありました。

疑問点が解決されたようでよかったです。
私の金融知識は系統立てて学んだものではないので公式も思いつきです。
ですからすぐ忘れていいただいて大丈夫です。