A 回答 (5件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.5
- 回答日時:
No4の証明の一部を簡単化できることがわかりましたので書きます。
SL(2,Z)にどんな行列が入っているかを知る(想像する)には、いままで書いたことが役に立つと思いますが、単にS,Tで生成されることを証明するだけなら、「互いに素」に言及している部分は略せます(|a|=|c|の場合分けは不要)。すなわちac\=0の場合
No4で書いたとおり、S,TをAに掛けてaをcで割る操作を繰り返して、
| ** *** |
| 0 ****|
の形のSL(2,Z)に属する行列にできる事のみを言えば(これは除法の性質からあきらか)、あとはac=0の話につなげられます。
No.4
- 回答日時:
No.2です。
前のより簡潔に書けると考えなおしたので、それを書きます。A=
|a b|
|c d|
がSL(2,Z)に属しているとします。すなわちa,b,c,dは整数でad-bc=1.
ac=0の時は、No2に書いたとおり、AはS,Tから生成されます。
ac\=0の時を考えます。
|a|=|c|の場合は、|a|=|b|=1の場合しかなく、この場合もAの形は容易で、これも
S,Tから生成されることが簡単な計算でわかります。
よって最後は|a|\=|c|,ac\=0の場合を考えればよいです。
この場合No2で書いたとおり、|a|,|c|は互いに素です。
S*A=
|c d|
|-a -b|
でaとcを入れ替えることができるので、|a|>|c|を仮定してもよいです。
aをcで割って
a=n*c+r, |r|<|c|
とします。
T^(-n)*A=
| a -nc b-nd |
| c d |
=
| r b-nd|
| c d |
です。これに左からSをかけると、
S*T^(-n)*A=
| c d |
|-r -b+nd|
であり、|c|>|r|です。よって前と同じ条件となり、
上の繰り返すと|a|,|c|が互いに素より
有限回数のS,Tを同様に掛ける操作で、
| 1 ** |
| 0 ***|
の形にできます。そして今AはSL(2,Z)の元で、S,Tもそうであるから、この行列も
SL(2,Z)に属しています。そしてこれはc=0の場合ですから、これは既に示したように
S,Tで生成されます。
以上よりAがS,Tによって生成されることがわかります。
No.2
- 回答日時:
私は以下のように考えました。
細かな間違い等は自助努力で訂正してください。まず
A=
|a b|
|c d|
がSL(2,Z)に属しているなら、a,b,c,dは整数で、ad-bc =1を満たさなければなりません。
この式から、互いに素、ユークリッド互除法というものが思い浮かびます。
S^2 =-E (S^3 =-S),
T^n
=
|1 n|
|0 1|
は容易にわかります。ここでnは整数です。
まずac=0の場合を考えましょう。a=0もしくはc=0でなければなりません。
c=0ならad=1より(a,d)=(1,1) or (-1,-1)でなければなりません。
この時
A=
|1 b|
|0 1|
or
|-1 b|
| 0 -1|
の形です。これらはそれぞれ T^b, S^2T^(-b)と表せることが計算で容易に示せます。
a=0なら -bc=1より(b,c)=(1,-1), (-1,1)です。よって
A=
|0 1|
|-1 d|
or
|0 -1|
|1 d|
となり、これらはそれぞれ、
S*|1 -d|
|0 1|
S^3*|1 d|
|0 1|
となります。直上式はc=0の形に相当しますから、これらはS,Tで生成されます。
よって以上でac=0の場合はS,Tで生成されることがわかります。
次にac\= 0の場合を考えます。この時a,cは互いに素でなければなりません。
なぜならad-bc=1となる整数解b,dが存在しなければならないからです。
よってSL(2,Z)の元Aはac\=0の時は、a,cは互いに素で、b,dはax-cy=1の解です。
この1つの解はユークリッド互除法で求めることができます。ひとつの解(b,d)が
求まれば、その他の解はnを整数として、(b+na,d+nc)で尽くされます。
すなわちSL(2,Z)の行列は、既に分析したac=0の場合の形と、ゼロでない互いに素の整数a,cをあたえ、ax-cy=1のひとつの解を(b,d)とした時、nを整数として
|a b+na|
|c d+nc|
で尽くされることになります。
これでSL(2,Z)の中身が見えてきました。あとはS,Tで生成されることを見ればよい。
このa,cにユークリッド互除法を適用します。
r_1 = a, q_1 =b として
r_1 = k_1*q_1 + R_1
r_2 = k_2*q_2 + R_2 (r_2 = q_1, q_2 = R_1)
........
r_(N-1) = k_(N-1)*q_(N-1) + R_(N-1)
r_N = k_N*q_N + 1 ( r_N = q_(N-1), q_N = R_(N-1) )
となり有限回数で最後の式を得ます。
最後の式より
行列C=
| r_N k_N |
| q_N 1 |
はT^(k_N)*S*T^(-q_N)*S^3と表現できます。
ユークリッド互除法の最後の式とその次最後の式より、
1 = r_N -k_N*q_N = -k_N*r_(N-1) +(1+k_N*k_(N-1))*r_(N-1)
となります。すなわちr_(N-1),q_(N-1)に対して、r_(N-1)*x-q_(N-1)*y =1となる
1つの整数解(x,y)が上式のように見つかります。これをさかのぼれば、a=r_1, b=q_1に
対する整数解が見つかります。この演算をCにS,Tをうまく掛けることにより、行列
| r_(N-1) y|
| q_(N-1) x|
と表現することができます。(ここは自助努力でしてみてください。試行錯誤すればわかります)
よって帰納法より、Cから出発してS,Tを掛けたりすることにより、
|a b|
|c d|
というものが生成されます。(ad-bc=1を満たして生成される)
上式にT^nを右から掛けると、
|a b+na|
|c d+nc|
となり、ゼロでない互いに素のa,cを与えたて固定した時にSL(2,Z)に属する元はすべてS,Tから生成されることがわかります。
以上よりSL(2.Z)はS,Tで生成できます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- FX・外国為替取引 MT4のSL・TP設定 1 2023/07/09 12:21
- 貨物自動車・業務用車両 エンジンオイルの扱いについて 4 2023/05/23 06:56
- その他(ゲーム) ファミコンの「コズミックウォーズ」のような、PCゲーム(steam)を探しています 1 2023/04/03 19:45
- 電車・路線・地下鉄 武豊線のキハ58はいつ頃まで使われていたのですか?。 1 2022/09/20 18:24
- マンガ・コミック 手塚治虫「ブラックジャック」の最終話「人生という名のSL」の収蔵巻は? 1 2023/07/15 12:32
- 電車・路線・地下鉄 SLやまぐち 乗りたいし、見たい どうすれば 8 2022/05/02 15:04
- 数学 どういう計算か分かりません、どなたか教えて頂けませんか? 平均L(9.44+9.44)/2=9.44 1 2023/03/18 17:24
- 数学 SL(2,Z)の中心について 1 2022/04/27 12:14
- 国産車 エンジンオイルの購入先 5 2022/12/31 11:48
- FX・外国為替取引 pine scriptのコードが動作しない 1 2023/02/01 19:03
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
微分方程式についてxy'+y=sinx
-
解なし≠解はない
-
aの値に関係なくとよく問題で見...
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
x² +4 を(ア)有理数(イ)実数(ウ...
-
二次方程式 共通な解
-
xyzの値の範囲
-
答えを教えて
-
三角関数
-
Duhamelの重畳積分法とはなんで...
-
高校数学 十分性の確認について...
-
小学生の算数レベルの、大人向...
-
同次形常微分方程式の解き方に...
-
3次関数が極値をもつ必要十分条件
-
適正解と最適解
-
微分の重解条件は公式として使...
-
2^n +1 と 2^n -1 がともに素数...
-
sinX=-1/2 の一般解
-
高校数学☆高次方程式
-
数IIの問題で…
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
tanX=Xの解
-
aの値に関係なくとよく問題で見...
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
解なし≠解はない
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
答えを教えて
-
x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は...
-
複数の品目での単価と全体の合...
-
微分の重解条件は公式として使...
-
微分方程式 y'=(x-y)/x はどう...
-
微分方程式で、分母=0の場合は...
-
高校数学の問題について 2次方...
-
x² +4 を(ア)有理数(イ)実数(ウ...
-
数学I 二次方程式について次の...
-
cos x = 0の解の書き方について
-
微分方程式の解を、微分方程式...
-
行列の問題
-
等差数列の和を利用・・?
おすすめ情報