命題
SL(2、R)(実特殊線形群)は
T= ( 0 1 ) および {S(x)= ( 1 x ) ;x∈R}
(-1 0 ) (0 1)
から生成される。
証明
TとS(x)たちの生成する部分群をHとし、H=SL(2、R)を示す。
SL(2、R)の任意の元A= (a b) を考える。
(c d)
もしd=0ならc=-(b^-1)で
TA= (-b^-1 0)
(-a -b )
もしd≠0なら
A= (1 bd^-1)*(a-bcd^-1 0) = SL(bd^-1)*(d^-1 0)
(0 1 ) ( c d ) (c d)
したがって、(a 0 )の形の行列がHに属することを示せばよい。
(x a^-1)
まず、
(1 0)=T^-1*S(-x)*T∈H
(x 1)
に注意する。
(a 0 )=(1 a-1)*(1 0 )*(1 a^-1-1)*( 1 0 ) ∈H
(0 a^-1) (0 1 ) (1 1) ( 0 1 ) (-a 1 )
(a 0 ) = (1 0 ) * (a 0 )∈H
(x a^-1) (a^-1x 1) (0 a^-1)
となるから、SL(2、R)の任意の元はHに属し、H=SL(2、R)。
この証明でわからない点がふたつほどあります。
ひとつめはなぜd=0 とd≠0で場合分けしているのか。
ふたつめは(a 0 )がHに属していることで、SL(2、R)の任意の元はHに属することになるのか。
(x a^-1)
詳細のほどよろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
SL(2,R)に属するAがT、S(x)達で生成されるとしたら
A = T*... ---(a)
A = S(*)*..---(b)
という形になるはずです。
上の...の部分がHに属していたら、SL(2,R)はT,S(x)達で生成されるといえますね?
一つめは上の...の部分が
| a 0|
| x a^-1|
という形になる事を示すために場合分けしているだけです。
二つめは上の...すなわち
| a 0|
| x a^-1|
がHに属すれば、それにTや S(*)を掛けたものもHに属しますから、(a,b)よりAもHに属します。
回答ではTAを計算していますが、T^2 = -Eに注意すればここの説明で十分です。
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