人口衛星と月

地球の半径よりやや大きい軌道半径で地球をまわる人口衛星と月とではどちらが速いか。速さの比を半径の比で表すとどうなるか？また周期の比はいくらか？月の周期は約27日で軌道半径は３８４０００km、地球の半径は６４００kmで人工衛星の周期を求めたいのですが、その回答（出来れば解説付きで）をお願いします。

No.15 ベストアンサー 回答者： keyguy 回答日時： 2003/11/26 13:18

わき道にそれた議論ですが大学生ということなので抽象的に書いたNo.14を具体的に示しましょう。

地球と人工衛星が球と見なせるとして人工衛星の質量が地球の質量に比べて無視できない場合。

１つの慣性系を任意に選択しその原点をＱとする。
地球の質量をＭとし
地球の重心のＱからの位置ベクトルをｒ０（ｔ）とし
人工衛星の質量をｍとし
人工衛星のＱからの位置ベクトルをｒ１（ｔ）とし
万有引力定数をＧとすると

地球の運動方程式は
Ｍ・ｒ０”（ｔ）＝－Ｇ・ｍ・Ｍ・（ｒ０（ｔ）－ｒ１（ｔ））／｜ｒ０（ｔ）－ｒ１（ｔ）｜＾３
・・・（１）
すなわち
ｒ０”（ｔ）＝Ｇ・ｍ・（ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ））／｜ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ）｜＾３
・・・（２）
人工衛星の運動方程式は
ｍ・ｒ１”（ｔ）＝－Ｇ・ｍ・Ｍ・（ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ））／｜ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ）｜＾３
・・・（３）
すなわち
ｒ１”（ｔ）＝－Ｇ・Ｍ・（ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ））／｜ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ）｜＾３
・・・（４）

（１）と（３）を辺々足して
ｍ・ｒ０”（ｔ）＋Ｍ・ｒ１”（ｔ）＝０
すなわち
（ｍ・ｒ０”（ｔ）＋Ｍ・ｒ１”（ｔ））／（ｍ＋Ｍ）＝０
これは地球と人工衛星の重心は等速度運動するすなわち慣性系になりうるということを示している。
従って改めて先に選んだ慣性系を地球と人工衛星の重心を原点Ｑとする慣性系とする。
地球と人工衛星の重心が原点だから
（ｍ・ｒ０（ｔ）＋Ｍ・ｒ１（ｔ））／（ｍ＋Ｍ）＝０
すなわち
ｒ０（ｔ）＝－Ｍ・ｒ１（ｔ）／ｍ
・・・（５）
である。
（５）を（４）に代入すると
ｒ１”（ｔ）＝－（Ｇ・Ｍ／（１＋Ｍ／ｍ）＾２）・ｒ１（ｔ）／｜ｒ１（ｔ）｜＾３
すなわちｋ＝（Ｇ・Ｍ／（１＋Ｍ／ｍ）＾２）とすると
ｒ１”（ｔ）＝－ｋ・ｒ１（ｔ）／｜ｒ１（ｔ）｜＾３

この式を考察すると
慣性系である地球と人工衛星の重心からみれば人工衛星は
楕円軌道または（円軌道または）双曲線軌道または放物線軌道を描くことが分かる。
勿論地球の重心からみても人工衛星は楕円軌道または（円軌道または）双曲線軌道または放物線軌道を描くことは変わらない。
周期や速度を出すのには今までどおり後者を利用するほうが良いことは言うまでも無い。

この回答へのお礼

何度も回答ありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時：2003/11/28 01:54

No.16 回答者： Teleskope 回答日時： 2003/11/27 05:12

　

>> 人工衛星の速さ
>> 人工衛星の一周時間
>> 地球表面の半径は 6400km
>> 月軌道の半径は 384000km


１．
地球重力による加速度ｇは
『地表では ｇ＝9.8 である。』
この数字は聞いたことがあると思う。

２．
『それは距離の二乗で弱くなる。』
これもなんとなく聞いたことがあるだろう。
距離が k倍 になれば 1/k^2 になるのだ。
2倍になれば 1/4 に。
3倍になれば 1/9 に。

３．
月軌道の半径は、地球半径の■倍である。
ゆえに地表では g＝9.8 であったのが、
月軌道のところでは ｇ＝■ となる。

４．
人工衛星のスピードは
　V ＝ √(ｇｒ)
ｒは軌道の半径
ｇはその場所での重力加速度。
万有引力常数でなく重力加速度ｇで表した式はこうだ。
実際に計算してみよう。
地表面でのスピード　V ＝ ■ m/s
月軌道でのスピード　V ＝ ■ m/s

5.
軌道は円である。半径はｒである。円周率をπとして円の周囲の長さＬは
　Ｌ＝ ■
π≒3.14 として実際に計算してみよう。
地表面の円では　Ｌ＝ ■ m
月軌道の円では　Ｌ＝ ■ m

６．
上記のＬを一周する時間Ｔは、速度が分かっているゆえ
地表面では　Ｔ＝ ■秒 ＝ ■時間
月軌道では　Ｔ＝ ■秒 ＝ ■時間 ＝ ■.313日

７．
角速度ωとは rad/s かな？
円を一周する角度は、度単位では 360、ラジアン単位では 2π。
一周する時間が分かってるゆえ
地表面では　ω＝ ■ rad/s
月軌道では　ω＝ ■ rad/s



まとめ．
４の式はワケワカだろうが、君は理科人種でないだろうから深入せずともよい。そして２は聞いたことがあると思うがそれを３のような計算として見せてしまうのが理科的試合運びということで。
他は算数の計算問題だ。
なお ｒ は地球中心からの距離だ。地上からではない。雑誌や新聞に載ってる衛星高度を使うときは地球半径を足し込むこと。

ねんのため；地表での重力加速度ｇは ｇ＝9.8 m/s^2

この回答へのお礼

分かりやすい回答ありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時：2003/11/28 01:54

No.14 回答者： keyguy 回答日時： 2003/11/26 11:41

ちょっと修正しておきます。

No.8で
この方程式から言えること

・Ｎｏ．７の円軌道を慣性系からの円運動でなく地球の重心に居る人から見ての円運動であると修正しなければならない。（慣性系から見ればもはや円軌道ではない。）

については
慣性系を２つの物体の重心に選べば中心力場になり
２つの物体の軌道はちゃんと
円運動あるいは楕円運動あるいは双曲線運動あるいは放物線運動
の何れかになります。
従ってこの点に限り明らかに間違いです。

しかしこれは式の解釈の部分であって余談であり問題には関係無い部分です。

この回答へのお礼

何度も回答ありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時：2003/11/28 01:53

No.13 回答者： keyguy 回答日時： 2003/11/26 10:35

万有引力などは使わない場合とかで答えは出ますか？また人工衛星は地球の表面すれすれで動いてる物と考えた場合です。

：

万有引力があるから人工衛星が成立するのです。
ケプラーの法則は基本法則でなく基本法則であるニュートンの運動法則＋ニュートンの万有引力の法則より導かれるものです。ケプラーの法則は話題性は有り話の種になりますが枯れた法則であり覚える必要はありません。
したがって直接的で有れ間接的（ケプラーの法則を使う場合）で有れ万有引力を使わなければなりません。
仕組みを根本的に理解するには直接的に運動法則＋万有引力を使わなければなりません。
もし万有引力定数を使わない式というのであれば
人工衛星の質量が地球の質量に対して無視できるとした
Ｎｏ．７で出した式
Ｔ＝（２・π／Ｒ／√（ｇ））・ｒ＾（３／２）
Ｖ＝（Ｒ・√（ｇ））／√（ｒ）
を使えばいいでしょう。
なお、人工衛星のだいたいの周期は既にruehasさんが出しています。

ところで厳密な式
T=(2・π/√(G・(M+m)))・r^(3/2)
すなわち
T=(2・π/R/√(g・(1+(m/M))))・r^(3/2)
すなわち
m/M=4・π^2・r^3/T^2/R^2/g-1
を使えば月と地球の質量比m/Mを出すことができます。

興味深いことはこの式はケプラーの法則からは導くことができずにこの式を出すためにはニュートンの２法則を使わなければならないのです。

rとRは三角測量で測定でき
Tは時計で測定でき
gはものさしと時計で測定できるので
r=384000000[メートル]
g=9.8[メートル/秒^2]
T=27.32×24×60×60[秒]=2332800[秒]
R=6367000[メートル]
として
m/M=0.009877646
あるいは
M/m=101.2386905

バラメータの精度が悪いため計算誤差がでて多少違うが程度はどんぴしゃである。

No.12 回答者： sanori 回答日時： 2003/11/26 02:10

＃１１です。

大変申し訳ありません。
ほかのことをしている途中に、ふと自分の誤りに気づきました。
さっき記憶の引き出しが開いたのですが、「面積速度一定」というのは、重力が軌道半径の２乗に反比例していなくても、一般に中心力の場であれば、何乗則でも成り立つ法則だったと思います。
これが、全ての衛星に対して保存される法則だとすると、重力の法則が２乗則でなくても何乗則であっても、軌道半径と周期の関係が一定ということになり、これは明らかにおかしいですね。
ということは、「面積速度一定」というのは、一定の初速が与えられた１つの衛星に対する法則のような気がします。

．．．というわけで、＃１０さんのおっしゃる式（ケプラーの第？法則に相当）を使うのが正しいはずですね。

ですから、「軌道半径の３乗 × 角速度ωの２乗」が、どの衛星に対しても一定として、計算すればよいですね。これだけは確かです。

私自身は、面積速度の件で、まだ頭がこんがらかっているので、自己満足のために後日勉強し直しです。

皆さんが私のために頭がこんがらかっていたようでしたら、大変申し訳ありませんでした！！！
特に＃１０さん。
m(_ _)m

この回答へのお礼

何度も回答ありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時：2003/11/28 01:53

No.11 回答者： sanori 回答日時： 2003/11/25 20:34

補足です。

地球の密度分布や形状が数式的な関数では表記不可であることを考えれば（←複雑な測定が必要になります）、地球の中心の場所に地球の質量が集中した質点があると近似する以外に、机上で計算する方法はありません。

２つの天体の重心を中心にする考え方は、円軌道の場合に便利かつ、より正確な近似になります。この点は、＃１０さんの考え方で、全く正解であり、私も反論する余地はありません。
ただ、楕円のときまで考えを拡張するときに頭の中がこんがらがるので（←あくまでも私の場合はは、ですが）あまり好きでないです。まー私のように、そこまで考えなくてもいいのかもしれませんが。

この回答への補足

ご回答本当にありがとうございます。角速度ω、重力9.8ｇなどを使ったもう少し簡単なものでお願いしたいんす。すいません。。万有引力などは使わない場合とかで答えは出ますか？また人工衛星は地球の表面すれすれで動いてる物と考えた場合です。いろいろ言ってすいません。ちなみに大学１、２年程度の問題です。

補足日時：2003/11/26 00:47

No.10 回答者： keyguy 回答日時： 2003/11/25 20:04

月の質量は地球の質量に対して十分小さいと近似できませんが、この近似をしなくても周期が簡単に求まることはすでに述べたとおりです。

人工衛星と地球を質点と考えるほど近似する必要もありません。人工衛星と地球が球であって密度が中心からの距離の関数になれば周期は簡単に求まるのです。

ということで月のことを考えてＮｏ．８の結果からＮｏ．７を厳密化すると

地球の半径をＲ［メートル］とし
地球の質量をＭ［ｋｇ］とし
万有引力定数をＧ［メートル＾３／秒＾２／ｋｇ］とし
地球の中心に対して円運動している物体の質量をｍ［ｋｇ］とし
その円運動の円の半径をｒ［メートル］とし
地球の中心から見た物体の速さをＶ［メートル／秒］とし
物体が円を一周する時間をＴ［秒］とすると

物体が地球の中心に対して円運動しているから
ｒ・（２・π／Ｔ）＾２＝Ｇ・（Ｍ＋ｍ）／ｒ＾２
・・・（１）
ところで
Ｖ＝２・π・ｒ／Ｔ
・・・（２）

（１）から
Ｔ＝（２・π／√（Ｇ・（Ｍ＋ｍ）））・ｒ＾（３／２）
・・・（３）
（２）と（３）から
Ｖ＝（√（Ｇ・（Ｍ＋ｍ）））／√（ｒ）
・・・（４）

すなわち
（３）より周期は運動半径ｒの３／２乗に比例し
（４）より速度は運動半径ｒの１／２乗に反比例する。

この回答への補足

ご回答本当にありがとうございます。角速度ω、重力9.8ｇなどを使ったもう少し簡単なものでお願いしたいんす。すいません。。万有引力などは使わない場合とかで答えは出ますか？また人工衛星は地球の表面すれすれで動いてる物と考えた場合です。いろいろ言ってすいません。ちなみに大学１、２年程度の問題です。

補足日時：2003/11/26 00:38

No.9 回答者： sanori 回答日時： 2003/11/25 19:24

地球の引力が、地球の中心に集中している、と考える限り、計算は近似の域を脱しません。

逆に言えば、近似の計算で十分なのです。

周期の比を求めたいのでしょうから、重力加速度Ｇの数値は計算に不必要です。
また、人工衛星や月の質量は、地球に対して十分小さいと近似しても十分なので、地球の位置は固定で考えていいです。
また、前にも書きましたが、地球や人工衛星や月の質量も計算式には入れる必要がありません。

あれこれ書きましたが、結局何を申し上げたいかと言うと、＃４、＃５をもう１回見てください、ということになります。
比の計算は簡単ですよ！

追伸：私の主観でしょうが、シンプルに考えてよいことをわざわざ複雑に考えるのは合理的ではありません。
もっとも、この問題を全く近似無しで計算するとしたら、えらい騒ぎになりますよ。

No.8 回答者： keyguy 回答日時： 2003/11/25 19:01

（参考回答）

地球と人工衛星が球と見なせるとして人工衛星の質量が地球の質量に比べて無視できない場合。

１つの慣性系の原点をＱとする。
地球の質量をＭとし
地球の重心のＱからの位置ベクトルをｒ０（ｔ）とし
人工衛星の質量をｍとし
人工衛星のＱからの位置ベクトルをｒ１（ｔ）とし
万有引力定数をＧとすると

地球の運動方程式は
Ｍ・ｒ０”（ｔ）＝－Ｇ・ｍ・Ｍ・（ｒ０（ｔ）－ｒ１（ｔ））／｜ｒ０（ｔ）－ｒ１（ｔ）｜＾３
すなわち
ｒ０”（ｔ）＝Ｇ・ｍ・（ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ））／｜ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ）｜＾３
・・・（１）
人工衛星の運動方程式は
ｍ・ｒ１”（ｔ）＝－Ｇ・ｍ・Ｍ・（ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ））／｜ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ）｜＾３
すなわち
ｒ１”（ｔ）＝－Ｇ・Ｍ・（ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ））／｜ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ）｜＾３
・・・（２）

（１）と（２）を辺々引き算して
ｒ１”（ｔ）－ｒ０”（ｔ）＝
－Ｇ・（Ｍ＋ｍ）・（ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ））／｜ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ）｜＾３

ｒ（ｔ）＝ｒ１（ｔ）－ｒ０（ｔ）とすると
ｒ”（ｔ）＝－Ｇ・（Ｍ＋ｍ）・ｒ（ｔ）／｜ｒ（ｔ）｜＾３

この方程式から言えること
・Ｎｏ．７の円軌道を慣性系からの円運動でなく地球の重心に居る人から見ての円運動であると修正しなければならない。（慣性系から見ればもはや円軌道ではない。）
・Ｎｏ．７のＭをＭ＋ｍに修正しなければならない。

この辺は高校物理の範囲を超えていて少なくとも大学１年前期終了の学力が必要である。
Ｎｏ．７は高校物理の範囲である。

No.7 回答者： keyguy 回答日時： 2003/11/25 16:09

地上の重力加速度をｇとし

地球の半径をＲとし
万有引力定数をＧとし
円軌道している物体の質量をｍとし
その円軌道の円の半径をｒとし
物体の速さをＶとし
物体が円軌道を一周する時間をＴとすると

物体が円運動しているから
（回転系における「万有引力＝慣性の力（遠心力）」から）
Ｇ・ｍ・Ｍ／ｒ＾２＝ｍ・ｒ・（２・π／Ｔ）＾２
・・・（１）
ところで
Ｇ・Ｍ／Ｒ＾２＝ｇ
・・・（２）
また
Ｖ＝２・π・ｒ／Ｔ
・・・（３）

（１）と（２）から
Ｔ＝（２・π／Ｒ／√（ｇ））・ｒ＾（３／２）
・・・（４）
（３）と（４）から
Ｖ＝（Ｒ・√（ｇ））／√（ｒ）
・・・（５）

すなわち
（４）より周期は軌道半径ｒの３／２乗に比例し
（５）より速度は起動半径ｒの１／２乗に反比例する。

単位はすべて国際標準のＭＫＳＡ有理単位系（ＳＩ単位系）です。