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二点A(-2,1),B(4,4)があり、y軸上に点C(0,k)をとって、三角形ABCの面積が16となるときの、kの値をすべて求めよ。

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A 回答 (4件)

やり方はいろいろあると思いますが、僕が簡単だと思うやり方をご紹介いたします。



まず、直線ABの式を求めます。とりあえず、直線ABを y=ax+b とおいてみます。
直線ABは当然、点Aと点Bを通りますので、 (x,y)=(-2,1),(4,4) を満たしますよね。
ということで、 y=ax+b に (x,y)=(-2,1),(4,4) を代入することで、連立方程式が得られます。
それを解くと、 a=1/2,b=2 だと分かり、直線ABが y=1/2x+2 だと分かりました。
ここで、線分ABとA,Bの座標を図に書き込んでみてください。さらに、直線ABのy切片が2でしてので、(0,2)も書いてください。

さて、ここからようやく三角形について考えます。
点C(0,k)はy軸上のどこかの点です。図に照らし合わせながら、おおよそどこに"ありそう"か考えてみてください。ABのy切片(0,2)より上と下に2点ありそうだと分かりますね。
よって、C(0,k)が「(0,2)より上にあるとき(k>2のとき)」と「(0,2)より下にあるとき(k<2のとき)」で分けて考えてみます。

(i)k>2のとき
kが2より大きいものとして、点C(0,k)を適当に図に書いてみてください。すると、三角形ABCを結べますね。
では、三角形ABCの面積を式で表してみましょう。
三角形の面積の求め方はいろいろありますが、今回は、三角形ABCを「y軸より左の部分」と「y軸より右の部分」に分割して求めてみましょう。
「y軸より左の三角形」の面積は、底辺を点Cから直線ABのy切片までの線とすると(底辺が縦向きになりますが構いません)、高さは点Aからy軸まで垂直に下ろした線ですね。
つまり、底辺×高さ÷2=(k-2)×|-2|÷2=k-2 と求まりました。
同様に、 「y軸より右の三角形」の面積は、(k-2)×4÷2=2k-4 と求まりました。
「y軸より左の三角形」と「y軸より右の三角形」の面積を合わせると、
(k-2)+(2k-4)=3k-6 となりました。これが三角形ABCの面積です。問題文より、三角形ABCの面積は16ですので、
3k-6=16 これから、k=22/3 と分かります。

(ii)k<2のとき、
今度は、kが2より小さいものとして、点C(0,k)を適当に図に書いてみてください。
先ほどと同じように三角形の面積を式に表すと、6-3kとなると思います。
6-3k=16 より、k=-10/3 となります。

以上より、k=22/3,-10/3 です。


回答が長くなりましたが、工夫すればもっと短くできます。
例えば、今回は直線ABの式を求めてみましたが、必要なのはy切片だけでしたので、それだけ求めればいいですね。
それとか、三角形を2つに分割してあとで足して求めてみましたが、高さを「(Bのx座標)-(Aのx座標)」、底辺は先ほどと同じにすると、1発で求まるので計算量を減らしたりもできちゃいます。
ただし、ずぼらするのは原理が分かってからにしてくださいね。原理が分かっているのなら、どんどんずぼらしましょう!
最後まで読んで下さりありがとうございました。
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この回答へのお礼

ありかどうございましたm( _ _ )m
とてもわかりやすく丁寧な説明でとても参考になりました。
時間もかかるところ、たくさんの説明で感動しました。
本当にありまがとうございましたm( _ _ )m

お礼日時:2011/11/23 20:46

二点ABを通る直線を求めると



y=1/2x+2

これより点ABを通る直線はy軸(0,2)で交わるので
この交点をDとすると

△ADCと△BDCの面積の和が16となるkを求める

底辺は線分CDなので
k>2のとき k-2
k<2のとき 2-k

あとの計算は自分でお願いします
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この回答へのお礼

ありかどうございましたm( _ _ )m
とても参考になりました。
頑張って勉強します!!

お礼日時:2011/11/23 20:41

直線ABとy軸の交点をDとすると、


三角形ABC=三角形ADC+三角形BDC
となって、三角形ADCも三角形BDCもどちらも底辺をDCと考える。高さはそれぞれ2と4だとわかるよね。だから
三角形ABC=DC*2/2+DC*4/2=DC*(2+4)/2=DC*3
そうするとDC=16/3だとわかる。
Dの座標は、直線ABとy軸の交点なのだから求めることができるでしょう。
そうすると、Cの候補はDの上下に2つあって、その座標はすぐに計算できる。
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この回答へのお礼

ありかどうございましたm( _ _ )m
とても参考になりました。
頑張って勉強します!!

お礼日時:2011/11/23 20:42

(1)AとBを通る直線の式を求めます。


(2)線分ABの長さを求めます。
(3)(1)で求めた直線とCの距離をkの式で表します。
(4)(2)の結果*(3)の結果=32とおくとkの方程式になるのでそれを解きます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
しかし、中学生レベルですので、よくわかりません。
(2)の長さは?です。
すいませんが、解く流れと回答はわかないでしょうか??
詳しく書かずに申し訳ありませんm( _ _ )m

お礼日時:2011/11/22 21:06

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