一次関数の図を利用した応用問題

二点Ａ（－２，１），Ｂ（４，４）があり、ｙ軸上に点Ｃ（０，ｋ）をとって、三角形ＡＢＣの面積が１６となるときの、ｋの値をすべて求めよ。

No.3 ベストアンサー 回答者： Tarow1 回答日時： 2011/11/22 21:58

やり方はいろいろあると思いますが、僕が簡単だと思うやり方をご紹介いたします。

まず、直線ABの式を求めます。とりあえず、直線ABを y=ax+b とおいてみます。
直線ABは当然、点Aと点Bを通りますので、 (x,y)=(-2,1),(4,4) を満たしますよね。
ということで、 y=ax+b に (x,y)=(-2,1),(4,4) を代入することで、連立方程式が得られます。
それを解くと、 a=1/2,b=2 だと分かり、直線ABが y=1/2x+2 だと分かりました。
ここで、線分ABとA,Bの座標を図に書き込んでみてください。さらに、直線ABのy切片が2でしてので、(0,2)も書いてください。

さて、ここからようやく三角形について考えます。
点C(0,k)はy軸上のどこかの点です。図に照らし合わせながら、おおよそどこに"ありそう"か考えてみてください。ABのy切片(0,2)より上と下に２点ありそうだと分かりますね。
よって、C(0,k)が「(0,2)より上にあるとき（k>2のとき）」と「(0,2)より下にあるとき（k<2のとき）」で分けて考えてみます。

(i)k>2のとき
kが2より大きいものとして、点C(0,k)を適当に図に書いてみてください。すると、三角形ABCを結べますね。
では、三角形ABCの面積を式で表してみましょう。
三角形の面積の求め方はいろいろありますが、今回は、三角形ABCを「y軸より左の部分」と「y軸より右の部分」に分割して求めてみましょう。
「y軸より左の三角形」の面積は、底辺を点Cから直線ABのy切片までの線とすると（底辺が縦向きになりますが構いません）、高さは点Aからy軸まで垂直に下ろした線ですね。
つまり、底辺×高さ÷２＝(k-2)×|-2|÷2＝k-2 と求まりました。
同様に、 「y軸より右の三角形」の面積は、(k-2)×4÷2=2k-4 と求まりました。
「y軸より左の三角形」と「y軸より右の三角形」の面積を合わせると、
(k-2)+(2k-4)=3k-6 となりました。これが三角形ABCの面積です。問題文より、三角形ABCの面積は16ですので、
3k-6=16 これから、k=22/3 と分かります。

(ii)k<2のとき、
今度は、kが2より小さいものとして、点C(0,k)を適当に図に書いてみてください。
先ほどと同じように三角形の面積を式に表すと、6-3kとなると思います。
6-3k=16 より、k=-10/3 となります。

以上より、k=22/3,-10/3 です。


回答が長くなりましたが、工夫すればもっと短くできます。
例えば、今回は直線ABの式を求めてみましたが、必要なのはy切片だけでしたので、それだけ求めればいいですね。
それとか、三角形を２つに分割してあとで足して求めてみましたが、高さを「(Bのx座標)-(Aのx座標)」、底辺は先ほどと同じにすると、１発で求まるので計算量を減らしたりもできちゃいます。
ただし、ずぼらするのは原理が分かってからにしてくださいね。原理が分かっているのなら、どんどんずぼらしましょう！
最後まで読んで下さりありがとうございました。

この回答へのお礼

ありかどうございましたm( _ _ )m
とてもわかりやすく丁寧な説明でとても参考になりました。
時間もかかるところ、たくさんの説明で感動しました。
本当にありまがとうございましたm( _ _ )m

お礼日時：2011/11/23 20:46

No.4 回答者： takuzo1999 回答日時： 2011/11/22 22:45

二点ＡＢを通る直線を求めると

ｙ＝１／２ｘ＋２

これより点ＡＢを通る直線はｙ軸（０，２）で交わるので
この交点をＤとすると

△ＡＤＣと△ＢＤＣの面積の和が１６となるｋを求める

底辺は線分ＣＤなので
ｋ＞２のとき　ｋ－２
ｋ＜２のとき　２－ｋ

あとの計算は自分でお願いします

この回答へのお礼

ありかどうございましたm( _ _ )m
とても参考になりました。
頑張って勉強します!!

お礼日時：2011/11/23 20:41

No.2 回答者： f272 回答日時： 2011/11/22 21:55

直線ABとy軸の交点をDとすると、

三角形ABC=三角形ADC+三角形BDC
となって、三角形ADCも三角形BDCもどちらも底辺をDCと考える。高さはそれぞれ2と4だとわかるよね。だから
三角形ABC=DC*2/2+DC*4/2=DC*(2+4)/2=DC*3
そうするとDC=16/3だとわかる。
Dの座標は、直線ABとy軸の交点なのだから求めることができるでしょう。
そうすると、Cの候補はDの上下に２つあって、その座標はすぐに計算できる。

この回答へのお礼

ありかどうございましたm( _ _ )m
とても参考になりました。
頑張って勉強します!!

お礼日時：2011/11/23 20:42

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/11/22 20:55

（１）ＡとＢを通る直線の式を求めます。

（２）線分ＡＢの長さを求めます。
（３）（１）で求めた直線とＣの距離をｋの式で表します。
（４）（２）の結果＊（３）の結果＝３２とおくとｋの方程式になるのでそれを解きます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
しかし、中学生レベルですので、よくわかりません。
（２）の長さは？です。
すいませんが、解く流れと回答はわかないでしょうか？？
詳しく書かずに申し訳ありませんm( _ _ )m

お礼日時：2011/11/22 21:06