微積＆微分方程式とは？

微分＆定積分＆微分方程式を分かりやすく説明すれば、
どういう風な値を求めているのでしょうか？

定積分はある定められた範囲の面積を求めている、って事であってますか？
積分するとでてくるＣはなぜ必要？

一応、問題として出されれば解けます。（おい）
なんか、意味の分からないものを求めてると思うと、
虚しく思えてきて質問しました
恥ずかしい質問ですが・・・お願いします

No.1 回答者： Ryo_Hyuga 回答日時： 2001/05/05 01:09

はじめまして。

微分は砕けた言い方をすれば、物凄く細かく分割してしまうとも言えますね。
ほんの少し(Δx)移動したときの変化量(Δy)を求めるものだとも言えます。
グラフですと、決められた点とこの変化した点を直線で結べばそのグラフの接線になりますね。

積分にはご承知の通り定積分と不定積分があります。
定積分と不定積分の違いは、範囲が定まっているかどうかということです。
積分は面積や体積をもとめるのに使われることが多いですが、
物理の世界では加速度から速度を求めたりするときも積分を使います。
微分して細かくしたものを全て寄せ集めるものが積分・・・
と個人的には解釈しています。
面積のでいうと、微分で面を点と同じくらいまで分割して、
それを積分で寄せ集める(計算する)ような感じだと思います。

Cは不定積分のときにしか出てきません。
定積分ではきちんとした値が出るので不要です。
例をあげて説明すると、
X^2+3X+1　と　X^2+3X+5　は微分すると同じになってしまいます。
では　2X+3　を積分すると、どちらの式になるのでしょうか？
分かりませんね。もしかしたらもっと別の式になるかもしれません。
そこで、積分定数のCをつけておくのです。
だいたいCは問題文の中に書かれているので、その値を代入することになります。

微分方程式はまだならってないので分かりません。
すいません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
これで、勉強がはかどります。
やっぱり、何をしているかが分かってるのと分からないのでは全然違いますから。

お礼日時：2001/05/05 06:37

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2001/05/05 02:25

《微分》

変化の割合を求めている．
(速度)＝(距離)÷(時間) で，速度が一定でないようなときにどうするか，
と思えばいいでしょう．
割り算の拡張，でしょうか．

《定積分》
y=f(x) のグラフとｘ軸の間の面積を求めている．
図形的にはそうですが，実際の問題では面積でないこともしばしばです．
ここらへんは，Ryo_Hyuga さんが書かれているとおり．

長方形の面積は(高さ)×(幅)ですが，高さがその幅の内で色々変化したらどうするか，
それを扱うのが定積分です．
こう見れば，定積分は掛け算の拡張．
Ryo_Hyuga が書かれているように，細かく分けてまた寄せ集める，というなら
足し算の拡張と思ってもよいかも知れません．

Ｃが出てくるのは不定積分の場合ですね．
不定積分は微分の逆演算ですが，微分すると情報が落ちます．
x^2 も x^2+1 も微分すれば 2x になって，もとの違いがわかりません．
落ちた情報を回復させる可能性を残しているのがＣです．

《微分方程式》
ある式を満たす「もの」を求めるとき，その式を方程式というわけです．
おなじみの x^2 = x の様な方程式だったら，求める「もの」は数です．
実際，答は x=0,1 ですね．
これに対して，求める「もの」が関数であるとき，関数方程式といいます．
特に微分が入っている場合に「微分方程式」といいます．
dy/dx=y だったら，答は ｙ= Ce^x ですね．
答は数ではなくて，関数になっています．
Ｃは積分定数ですが，Ｃがある理由は不定積分の時と同様です．

微分でなくて積分が入っていれば積分方程式といいます．
例えば，
∫{-∞～x} ydx = y
だったら，解は y = e^x ですね．

大学で授業を担当して思うことは，
微積の計算はできても，意味を考えない学生さんは多いようだということです．
その点，意味を考えようとする noa さんの姿勢は大変好ましいと思います．

この回答への補足

ありがとうございます。
おかげさまで、微積＆微分方程式については理解できました。

数学について題名とずれますが質問させてください。
ｅ（ネピアの数）とｌｏｇ。
意味は両方とも分かります。
ただ・・・
e^log(x)　　←eのlog(x)乗です
log(e)
となるとどんな数なのか分からなくなります。
答えは
ｘ
１
になるのだと思うのですが（たぶん）
なぜこうなるのでしょうか？

補足日時：2001/05/05 06:39

No.3 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2001/05/05 12:08

e^a = b となるような a のことを a = log(b) と書いた，

というのが対数の定義です．

○ e^log(x)

u = e^log(x) とおくと，上の定義で，u⇔b，a⇔log(x) ですから，
log(u) = log(x)．
したがって u = x，というのがが一番わかりやすいでしょうか．
ただし，log の性質として，違う真数の値に対して対数が同じになることはない，
ということを使っています．
つまり，y = log(x) のグラフからわかるように，y を決めたら x はただ一通りに
決まると言うことです．

--------------

○ log(e)

v = log(e) とすると，対数の定義から e^v = e です．
e^v = e なら，v = 1 ですね．
ここでも，違う x の値に対して e^x が同じになることはない，
ということを使っています．

--------------

> 微分とはわずかに分かり、積分とは分かった積りになったもの。
> または、積分とは積り積もって分かるものだそうです。

積り積もって最終的に分かってもらえればいいんですが，
微かにわかり，分かった積もり，だとちょっと困っちゃいますね．

この回答へのお礼

ありがとうございました
また、分からない点があれば質問します。
またお願いします

お礼日時：2001/05/06 00:19

No.4 回答者： brogie 回答日時： 2001/05/05 17:37

ギャグのbrogieです。

回答２の補足（お礼？）のところの疑問のヒントです。
対数の定義から
　e^y = x とすると　y = log(x)
でしたネ。このことを頭に確りおいて考えてください。

これからあなたの疑問　e^log(x) = ?
　e^log(x) = u　とおくと　log(x) = log(u)
ですネ。
　故に　u = x 　です。
つぎの疑問 log(e) = ?
log(e) = z とおくと　e = e^z
ですネ。
　故に　z = 1 　です。
頑張って下さい！

この回答へのお礼

ありがとうございます
あのギャグ（？）は先生も言っていたような（笑）
おかげさまで理解できました

お礼日時：2001/05/06 00:16