連立微分方程式の解き方について

次の問題の解き方を教えて下さい。
できれば途中の過程も教えて頂ければありがたいです。
問、一般解を求めよ。
１．dx/dt = -7x + y
dy/dx = -2x - 5y
２．dx/dt = 4x + y +2e^(3t)
dy/dt = -2x + y -3e^(3t)
3.
dx/dt = x - y + t^2
dy/dt = 2x - y + t^2 - t

答え１．x = e^(-6t) (C1 cost + C2 sint)
y = e^(-6t) ((C1+C2)cos t + (C2-C1) sin t)
２．x = C1 e^(2t) + C2 e^(3t) + t e^(3t)
y = -2C1 e^(2t) - (1 + C2)e^(3t) - te^(3t)
３．x = 3t + C1 cos t + C2 sin t
y = t^2 + 3t - 3 + (C1 - C2) cos t + (C1 + C2) sin t

個人的にわからないところは何度計算しても(C2-C1)のような式が
全く出てこないので困っています。３についてはx=3t + (1/2)C1 cos t + (1/2)C2 sin tの
ようになってしまいました。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/12/03 01:56

１．

　dx/dt = -7x + y …(1)
　dy/dt = -2x - 5y …(2)
(1)から
　y=dx/dt+7x …(3)
(3)を(2)に代入
　x''+7x'=-2x-5x'-35x
　x''+12x'+37x=0
s^2+12s+37=0
s=-6±i
x = e^(-6t) (C1 cost + C2 sint)
(3)に代入
　y = e^(-6t) ((C1+C2)cos t + (C2-C1) sin t)

２．
　dx/dt = 4x + y +2e^(3t)　…(1)
　dy/dt = -2x + y -3e^(3t) …(2)
(1)から
　y=dx/dt-4x-2e^(3t) …(3)
(2)に代入
　x''-4x'-6e^(3t)=-2x+x'-4x-2e^(3t)-3e^(3t)
　x''-5x'+6x = e^(3t)　…(4)
　s^2-5s+6=(s-2)(s-3)=0 s=2,3
斉次方程式の一般解
　x1 = x = C1 e^(2t) + C2 e^(3t)
特殊解　x2 = x = ate^(3t)　を(4)に代入
　(9at+6a)e^(3t)-5(3at+a)e^(3t)+6ate^(3t)=e^(3t)
　∴a=1
(4)の一般解
　x = x1+x2 = C1 e^(2t) + C2 e^(3t) + te^(3t)
(3)に代入
　y = 2C1 e^(2t) + 3C2 e^(3t) + (1+3t)e^(3t)
-4(C1 e^(2t) + C2 e^(3t) + te^(3t))-2e^(3t)
　　= -2C1 e^(2t) - (1 + C2)e^(3t) - te^(3t)
　
3.
　dx/dt = x - y + t^2　…(1)
　dy/dt = 2x - y + t^2 - t …(2)
(1)から
　y = -dx/dt + x +t^2 …(3)
(2)に代入
　-x'' + x' +2t =2x + x' -x -t
　x'' + x = 3t …(4)
斉次方程式の一般解
　s^2 +1 =0 ∴s=±i
　x1 = x = C1 cos(t) + C2 sin(t)
(4)の特殊解
　x2 = x = 3t
(4)の一般解
　x = x2+x1 = 3t + C1 cos(t) + C2 sin(t)
(3)に代入して整理
　y = -3 +C1 sin(t) -C2 cos(t) + 3t + C1 cos(t) + C2 sin(t) +t^2
= (t^2 +3t -3) + (C1-C2) cos(t) +(C1+C2) sin(t)

この回答へのお礼

くわしく書いていただきありがとうございます。
自分の間違っている箇所が分かりました。

お礼日時：2011/12/06 18:22

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/12/02 23:36

質問の文章からすると、解き方というより、

単に積分定数の名付け方が違うだけ
のように思えてならない。微分方程式の一般解は、
積分定数の置き方が異なると、同じ解が
全く違う外見を呈することが少なくない。
貴方の解と途中計算を、補足に書いてごらん。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/12/02 23:29

「解き方」もなにも, 微分方程式でない連立方程式と同様「変数を消す」だけですが?

あなたがどう計算したのかは知りませんが.