次の問題の解き方を教えて下さい。
できれば途中の過程も教えて頂ければありがたいです。
問、一般解を求めよ。
1.dx/dt = -7x + y
dy/dx = -2x - 5y
2.dx/dt = 4x + y +2e^(3t)
dy/dt = -2x + y -3e^(3t)
3.
dx/dt = x - y + t^2
dy/dt = 2x - y + t^2 - t
答え1.x = e^(-6t) (C1 cost + C2 sint)
y = e^(-6t) ((C1+C2)cos t + (C2-C1) sin t)
2.x = C1 e^(2t) + C2 e^(3t) + t e^(3t)
y = -2C1 e^(2t) - (1 + C2)e^(3t) - te^(3t)
3.x = 3t + C1 cos t + C2 sin t
y = t^2 + 3t - 3 + (C1 - C2) cos t + (C1 + C2) sin t
個人的にわからないところは何度計算しても(C2-C1)のような式が
全く出てこないので困っています。3についてはx=3t + (1/2)C1 cos t + (1/2)C2 sin tの
ようになってしまいました。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
1.
dx/dt = -7x + y …(1)
dy/dt = -2x - 5y …(2)
(1)から
y=dx/dt+7x …(3)
(3)を(2)に代入
x''+7x'=-2x-5x'-35x
x''+12x'+37x=0
s^2+12s+37=0
s=-6±i
x = e^(-6t) (C1 cost + C2 sint)
(3)に代入
y = e^(-6t) ((C1+C2)cos t + (C2-C1) sin t)
2.
dx/dt = 4x + y +2e^(3t) …(1)
dy/dt = -2x + y -3e^(3t) …(2)
(1)から
y=dx/dt-4x-2e^(3t) …(3)
(2)に代入
x''-4x'-6e^(3t)=-2x+x'-4x-2e^(3t)-3e^(3t)
x''-5x'+6x = e^(3t) …(4)
s^2-5s+6=(s-2)(s-3)=0 s=2,3
斉次方程式の一般解
x1 = x = C1 e^(2t) + C2 e^(3t)
特殊解 x2 = x = ate^(3t) を(4)に代入
(9at+6a)e^(3t)-5(3at+a)e^(3t)+6ate^(3t)=e^(3t)
∴a=1
(4)の一般解
x = x1+x2 = C1 e^(2t) + C2 e^(3t) + te^(3t)
(3)に代入
y = 2C1 e^(2t) + 3C2 e^(3t) + (1+3t)e^(3t)
-4(C1 e^(2t) + C2 e^(3t) + te^(3t))-2e^(3t)
= -2C1 e^(2t) - (1 + C2)e^(3t) - te^(3t)
3.
dx/dt = x - y + t^2 …(1)
dy/dt = 2x - y + t^2 - t …(2)
(1)から
y = -dx/dt + x +t^2 …(3)
(2)に代入
-x'' + x' +2t =2x + x' -x -t
x'' + x = 3t …(4)
斉次方程式の一般解
s^2 +1 =0 ∴s=±i
x1 = x = C1 cos(t) + C2 sin(t)
(4)の特殊解
x2 = x = 3t
(4)の一般解
x = x2+x1 = 3t + C1 cos(t) + C2 sin(t)
(3)に代入して整理
y = -3 +C1 sin(t) -C2 cos(t) + 3t + C1 cos(t) + C2 sin(t) +t^2
= (t^2 +3t -3) + (C1-C2) cos(t) +(C1+C2) sin(t)
No.2
- 回答日時:
質問の文章からすると、解き方というより、
単に積分定数の名付け方が違うだけ
のように思えてならない。微分方程式の一般解は、
積分定数の置き方が異なると、同じ解が
全く違う外見を呈することが少なくない。
貴方の解と途中計算を、補足に書いてごらん。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・架空の映画のネタバレレビュー
- ・「お昼の放送」の思い出
- ・昨日見た夢を教えて下さい
- ・ちょっと先の未来クイズ第4問
- ・【大喜利】【投稿~10/21(月)】買ったばかりの自転車を分解してひと言
- ・メモのコツを教えてください!
- ・CDの保有枚数を教えてください
- ・ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
- ・家・車以外で、人生で一番奮発した買い物
- ・人生最悪の忘れ物
- ・【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】
- ・ハマっている「お菓子」を教えて!
- ・最近、いつ泣きましたか?
- ・夏が終わったと感じる瞬間って、どんな時?
- ・10秒目をつむったら…
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・都道府県穴埋めゲーム
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
2024.10.13 05:04にした質問の2...
-
三角関数の不等式の問題につい...
-
高校数学についてです。 e^√xの...
-
高一です。 連立3元一次方程式...
-
2の48乗はいくつ?
-
数学 確率分布
-
こちらの2024.08.20 18:17と202...
-
ギリシャ文字
-
こちらの2024.08.20 18:17と202...
-
微分の収束を考えた時、その微...
-
不定積分の問題を解いたのです...
-
2024.10.8 12:12に質問した 202...
-
確率の問題Ⅲ
-
二次不等式、判別式の利用
-
2024.8.20 18:17にした質問の、...
-
109x-29y=1 の整数解の見つけ方...
-
時計の長針と短針が重なる回数...
-
数学・算数の得意な方
-
1の100乗、2の100乗、~100の10...
-
演習1 (1)3つのさいころを同時...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
2つのベクトル→a=(2.1.-3)と→b=...
-
四元一次連立方程式の解き方
-
x+1/x=3のとき、x^2+1/x^2の値...
-
1986年の共通一次試験数学の問...
-
数学の三角形の角の比の問題です
-
x四乗-5x二乗+4 = (x+1)(x-1)(x...
-
y=-2X+2 y=3分の2x-4 ...
-
平方根の難しい問題 高校入試から
-
[][>平方根の値…?
-
高校数学 数列
-
大小2つの正の整数がある。その...
-
双曲線の方程式の求め方が分か...
-
高校数学この問題の解き方教え...
-
条件付きの最大値と最小値
-
数学の問題についてです。 4m+3...
-
一次不定方程式7x-5y=12を満た...
-
因数分解 5x2乗+6x+1 …の様な...
-
余弦定理…?
-
「もういちど読む 数研の高校数...
-
高1の問題です!!
おすすめ情報