No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No1です。
補足します。>根体という字面からK上の多項式の根を付け加えて作るように思っていたのですが、
まさにおっしゃるとおりです。
>多項式環の剰余環が出てくるのはまだちょっとすっきりしないところがあります。。
例えば、複素数体Cは、実数体上の多項式環R[x]の既約多項式 x^2 + 1 が生成するイデアルで割ってできる環 R[x]/(x^2 + 1)(この場合は体になる)と同一視できるということを考えれば、剰余環が出てくる事がそんなに突拍子もないことではないと考えることができると思います。
No.1
- 回答日時:
こんにちは。
まず根体の定義は、
K を体とし、 K[x] を K係数多項式環とし、f(x)\in K[x] を既約多項式とする。
この時、体 M が f(x) の根体であるとは、
(1) M > K ( >は含むの意味です)
(2) あるθが存在して、M = K(θ) ( M は K にθを付加してできる体である)
(3) f(x) = c*Irr(θ,K,x), c\in K
です。よって
M = K[x]/(f(x))
として上の定義を確かめればいいわけです。
(1)は、0次多項式はKとみなせるので、明らかです。
(2)は、θ として
θ = [x]\in M = K[x]/(f(x))
とすると、f(θ)=f([x])=[f(x)]=[0]
であるので、f(x)の根であることが分かります。
また
K(θ) = K[x]/(f(x))
であることも容易に分かります。
(3)は、
Φ: K[x] -> M = K[x]/(f(x))
を
g(x) \in K[x] に対して、g(θ)= g([x]) =[g(x)]
で定めた時、
kerΦ = {g(x)\in K[x]: g(θ)=[g(x)]=[0]}
= {g(x) \in K[x]: g(x) \in (f(x))}=(f(x))
であるから明らかに分かります。
すなわち、
Irr(θ,K,x)=f(x)をその最高次数の係数で割ったもの
となります。
この回答へのお礼
お礼日時:2011/12/09 19:00
単項イデアルだから定数倍が付く感じですね。納得しました。詳しい説明を付けて下さりありがとうございます。
根体という字面からK上の多項式の根を付け加えて作るように思っていたのですが、多項式環の剰余環が出てくるのはまだちょっとすっきりしないところがあります。。
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