Oを原点とする座標平面上に、半径がすべてr(rは正の定数)である3つの円C1、C2、C3がある。円C1、C2の中心は、それぞれO、A(-6,8)である。また、円C3は2つの円C1、C2に外接し、その中心Bは第1象限にある。
(1)線分OAの二等分線の方程式を求めよ。
→自力で解けました。
y=3/4x+25/4です。
(2)円C1、C2が2点L、Mで交わり、LM=5であるとき、rの値と点Bの座標を求めよ。
→△ONLで三平方の定理を使い、点Bのx座標をaとおき、OB^2=(2r)^2であることに式に表す。を使いそうです。
(3)(2)のとき、円C3の周上に動点Pをとる。OP^2+AP^2の最小値を求めよ。
→P(s,t)とおくとOP^2+AP^2になり、NP^2もs、tの式にするそうです。
解答と解説をお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
Oを原点とする座標平面上に、半径がすべてr(rは正の定数)である3つの円C1、C2、C3がある。
円C1、C2の中心は、それぞれO、A(-6,8)である。また、円C3は2つの円C1、C2に外接し、その中心Bは第1象限にある。>(1)線分OAの二等分線の方程式を求めよ。
>→自力で解けました。
>y=3/4x+25/4です。……(1)
>(2)円C1、C2が2点L、Mで交わり、LM=5であるとき、rの値と点Bの座標を求めよ。
>→△ONLで三平方の定理を使い、点Bのx座標をaとおき、OB^2=(2r)^2であることに式に表>す。を使いそうです。
点NはOAの中点だから、ON=(1/2)AO
AO^2=(0+6)^2+(0-8)^2=100 AO=10 ON=5
△ALMが二等辺三角形だからLMの中点でもある。
だから、LN=5/2、
△ONLで三平方の定理を使い、
r^2=ON^2+LN^2
=5^2+(5/2)^2 r=5ルート5/2……答え
点Bのx座標をaとおき、Bからx軸上仁おろした垂線の足をC(a.0)とする。
点Bは(1)上の点だから、Bのy座標は、(3/4)a+25/4
OB=2r=5ルート5
△BOCは直角三角形だから、三平方の定理より
OB^2=OC^2+BC^2
(5ルート5)^2=a^2+((3/4)a+25/4)^2 これを整理して因数分解すると
(a+11)(a-5)=0 a>0よりa=5
y座標は、(3/4)a+25/4=10 よって、B(5,10)……答え
>(3)(2)のとき、円C3の周上に動点Pをとる。OP^2+AP^2の最小値を求めよ。
>→P(s,t)とおくとOP^2+AP^2になり、NP^2もs、tの式にするそうです。
P(s,t)とおくと、点NはOAの中点だから、N(3,-4)
OP^2=(s-0)^2+(t-0)^2
AP^2=(s+6)^2+(t-3)^2
NP^2=(s+3)^2+(t-4)^2
これらを展開して整理すると、
OP^2+AP^2=2NP^2+50 という関係が成り立ちます。
だから、OP^2+AP^2の最小値は、
NPの最小値を求めて、その値を2乗して2倍して50を足したものになります。
NPの最小値は、図から、点N,P,Bが一直線に並んだときの値です。
NP=NB-BP=NB-r で求められます。
NB^2=(5+3)^2+(10-4)^2=100 NB=10
NP=10-(5ルート5/2)
この値を2乗して2倍して50を足すと
OP^2+AP^2の最小値=625/2-100ルート5 ……答え になりました。
答えが違ってるとか何かあったらお願いします。
No.3
- 回答日時:
補足と訂正です。
>点Bは(1)上の点だから、Bのy座標は、(3/4)a+25/4
について、
△BAOは二等辺三角形だから、底辺OAの二等分線(1)は、頂点Bを通ります。
>P(s,t)とおくと、点NはOAの中点だから、N(3,-4)
>OP^2=(s-0)^2+(t-0)^2
>AP^2=(s+6)^2+(t-3)^2
>NP^2=(s+3)^2+(t-4)^2
AP^2=(s+6)^2+(t-8)^2 です。
No.1
- 回答日時:
計算が煩雑だから、計算のチェックはして欲しい。
C1:(x)^2+(y)^2=r^2 ‥‥(1)、C2:(x+6)^2+(y-8)^2=r^2 ‥‥(2)、C3:(x-α)^2+(y-β)^2=r^2 ‥‥(3) とする。α>0、β>0、r>0.
(1)と(3)、(2)と(3)が外接するから、2円の半径の和=中心間の距離だから α^2+β^2=4r^2 ‥‥(4)、(α+6)^2+(β-8)^2=4r^2 ‥‥(5)、 (4)-(5)から 3α-4β+25=0 ‥‥(6).
Aから直線LMに垂線を下し、その足をHとすると AL^2=AH^2+LM^2 だから、点Aと直線(6)との距離の公式から LH=5/2、LM=5 より 4r^2=125.
よって、(4)~(6)と 4r^2=125 より、連立すると、α>0から α=5、β=10.
P(r*cosθ-5、r*sinθ-10)だから、OP^2+AP^2=(r*cosθ-5)^2+(r*sinθ-10)^2+(r*cosθ+1)^2+(r*sinθ-18)^2=実際に計算して=(2r^2+450)-8r(cosθ+7sinθ)の最小値を求める。
2r^2+450は定数だから、cosθ+7sinθ≦√(50)より最小値は求められる。
続きは自分でやって。あ~、面倒だった、書き込みが。。。。。w
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