算数の問題で気になりました。

とある算数の問題について気になったのですが、

6人の子供に3個ずつリンゴを与えます。
リンゴは何個いるでしょう。

という問題があるとします。

答えは当然18個ですが、

計算式は
3×6＝18
が正解です。

ですが、
6×3＝18
だと不正解になってしまいます。

どちらも同じような気がするのですがいけないんでしょうか。
やはり順番は重要なのでしょうか。

どなたか回答をお願いします。
出来れば詳しく説明して頂けるとありがたいです。

No.11 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2011/12/24 10:54

これは極めて重要で数学の本質に関わる問題です。

「6人の子供に3個ずつリンゴを与えます。リンゴは何個いるでしょう。」
という問題を式にするとき、その式は3(個)×6であって、決して6(人)×3ではありません。
　なぜなら、×(かける)とは、加える操作を何回するかという意味です。
3個 + 3個 + 3個 + 3個 + 3個 + 3個 という操作を、
3個 × 6　と表す。という定義にかかわります。これが
6(人) + 6(人) + 6(人) = 18(人)
と人数を求めるものでないことは明白です。

　この×は、加える操作を何回するかを表す記号ですから、さらに発展して、「3個ずつ6人に配ったら4個余った、りんごの総数は？」というときに
　3(個)×6＋4(個) ですが、先に6+4を計算してはなりません。
　(3×6)＋4 ≠ 3×(6+4)
　これは、本来の意味は
　3+3+3+3+3+3+4 という式であるからですね。
★「掛け算を先にしなさい」というのは、単なる約束ではなく掛け算の持つ意味から導かれる結果なのです。

　ここをしっかり身につけるために、小学校ではここを、われわれその段階を過ぎたものからは「馬鹿らしい」と思うくらい丁寧に教えるのです。
　個数に「かける」のは人数ではなく、何回加えたかと言う回数なのです。
　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

　これが、高学年になると、単位を持つ具体的な数(かず)から、抽象的な数(すう)を導入することによって、
　6×3は、3×6の結果と同じ数(数)が得られることを学びます。【単位がありません】

★他にも小学校では
　小さな数から大きな数は引けない
　少数は分数で表せる・・そろばん文化の日本では小数を先に学ぶけど・・
　　割り切れない数の存在
　を学んでいきます。

　いずれ、中学校で負数や分数を学ぶと
「小さな数から大きな数は引けない」が「負数を導入すると計算が出来る」
「少数は分数で表せる」「割り切れない数の存在」から分数(逆数)を学びます。

　そうすると、
引き算は足し算
　2-4 = 2+(-4)　a-b = a + (-b)
割り算は、逆数を掛けること
　2/3 = 2×(1/3)　a/b = a × (1/b)
と置き換えられることを学び
・交換の法則　
　A＊B = B＊A
　　2-3 = 2 + (-3) = (-3) + 2
・分配の法則
　A×(B+C) = AB + AC
・結合の法則
　AB + AC = A×(B+C)
が使え、やがて
　すべての二次方程式が y= ax²＋bx + c と表せるようになる。

★数学は、きちんと順序だてて学ぶ必要があります。ここでは、6個のりんごを3人に配るときは、6(個)×3・・6個を三回加える。三個のりんごを6人に配るときは、3(個)×6と式を立てるべきであることは、しっかり理解させておきましょう。

　

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
とても分かりやすい説明でした。

小学生、中学生、高校生と上がるにつれて順々に教わるものだということがよくわかりました。
なのでこの問題での立式は全体を通した数学の教育過程においてとても大事で、そしてそのあとに出てくる逆数や交換の法則などを学んでいくということですか。

今回の問題の場合、小学生で教わる掛け算という「数学」は、掛け算の根本を理解するという意味で教えられていた。だから計算式の順序を厳しく採点していたんですね。

よくわかりました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2011/12/24 19:12

No.15 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2011/12/24 15:55

議論の場ではないのですが

＞大筋異論はないのですが、3個/人 X 6人 というような単位付きの数同士の掛け算に向かうのかなと思っていました。

　元々、人が数を扱い始めた根源は、数を物に置き換えることからだったのでしょう。人なり、獲物なりの数を石ッコロや結び目に置き換えて・・

　掛け算の記号は、[あるもの]を何回加えるかと言う意味を持つ記号ですから、
３個+３個++３個+３個+３個+３個　　と６回であって、この時点で６という数字は人数ではないこともあわせて指導しているはずです。

　これを実際に計算するときには、6×3でも構わないのですが・・実は私も九九は(大きい数)×(小さい数)、たとえば「くろく、ごじゅうし」なんて覚えてない(^^)

　この式の順番を変えてはならないのは、
６÷３ は、３÷６ではありませんし、６－３ は、３－６ではありません。掛け算と足し算だけは順番を変えてもよいというより、順番は変えられない。としておいて、後に
６÷３ は、６×1/3なので、1/3 ×６、６－３ は、6＋(-3)なので、(-3)＋６と同じとして計算できる。

　数を拡張することで、順番を買えることも、分配も結合も出来る感動が、子供を数学嫌いにしないポイントだと思っています。中学校で、分数、負数、を学びなおしたとき、そして無理数を知った時のあの感動は今でも忘れません。(今の子は無理数は学んでいませんが、新しい指導要領では学ぶことになる)、そして高校での虚数・・

　そうそう、A×B = B×A はあくまで、A,Bが一行一列の行列のときだけで、行列などではA×B≠B×Aですね。・・これとも関連があるのかも

　りんごを３個ずつ６人に配る式は、あくまで６×３ですから、式を書きなさいといわれたら6×3で、計算の過程で、6×3=3×6=18 とすることが間違っているといっているのではありません。

No.14 回答者： Ishiwara 回答日時： 2011/12/24 15:21

３×６でも、６×３でも、構いません。

小学校低学年から「数学の本質に迫る教育をしよう」などと考えること自体が間違いです。
「３個の山が６つある」と考えるほうが自然かも知れませんが、「６個の山が３るある」と考えても構いません。
このあたりで小難しいことを言うのは、算数嫌いの子供を作るだけです。

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/12/24 14:23

>これが、高学年になると、単位を持つ具体的な数(かず)から、抽象的な数(すう)を導入することによって、

>　6×3は、3×6の結果と同じ数(数)が得られることを学びます。【単位がありません】

大筋異論はないのですが、3個/人 X 6人 というような単位付きの数同士の
掛け算に向かうのかなと思っていました。

でないと、旅人算や流水算とかのような物理的な要素を持つ計算を
教えるのに支障が出そうだからです。

「数える」しか判らない人に「量る」という数の概念教えるのは難しそうですね。
私自身いつこの境界を突破したのか全然覚えてないです。

No.12 回答者： MarcoRossiItaly 回答日時： 2011/12/24 12:15

No.3＆7です。

数学における評価の基準とは、ただ一点、正しいのかそうでないのか、ということのみであるべきなのだろうと思います。

数学で目指しているのは、英語みたいにグローバル化、多文化理解の促進に資するというよりも、世界共通、宇宙共通の理解です。だから、ある地域と別の地域での理解の仕方が異なるなら、異なる考え方でも受け入れようというのではなくて、どちらの地域での理解も十分ではなかったという話になるのだろうと思います。

日本は周知のとおり、江戸時代などかなりの昔から数学が盛んで、和算家は微積分くらい普通に研究していたし、庶民の間でも、子どもが円など図形の問題を自作したりと、伝統的に数学が得意な国でした。明治の文明開化になって輸入品のアラビア数字を使うようにはなったけれども、そこから急に数学が発展したという見方には、違和感があります。それから更に長い時間が経って、今では世界中で同じルールのもと、数学をしているわけです。ゼロの概念などはインド生まれだそうですが、今となっては完全に世界共通なのだから、原産地がどこかという話はほとんど意味がないのかなと思います。

No.8さんが「教師がバカ」とおっしゃったのは、その先生個人の問題というよりも、数学の力の発達を阻害しかねないような指導体制へのご批判だと思います。数式の意味についての理解が大事というのは皆さん異論のないところと思いますが、前後を交換してもオッケーというのは、異なる見方が存在し、どちらも始めから「正しい」のでオッケーということです。3×6でも6×3でも答えは一緒なのだから気にしない、というわけではありません。

仮分数・帯分数にしても、どちらで答えても正しいのだから、正解扱いにすべきです。でも、帯分数に直せという指導を一旦するのは、それはそれで反対しません。（もっとも帯分数は、現実社会でほとんど使用場面はないですが、分数とか剰余についての理解を深める意味もあります）問題文には常に、帯分数で答えなさいといちいち書いておくべき。子供相手だから難しい言葉を使わないというのは、大人が子供の勉強を邪魔しているようなもの。

3×6のみを教えようとする動機は恐らく、発達中の子供の頭の中や、教育現場に、無用な混乱が起こることを避けたいという気持ちからのような気がします。だから九九を覚えたての小2くらいの子にはまず3×6のみを教えようというのは、それはそれで良いです。けれども、6×3という答えがたまたま出てきたときに、正しいのだから、それを排除してはならないと思うのです。

この回答へのお礼

複数回の回答ありがとうございました。

自分たちは高校を過ぎれば数学をある程度習った状態になるので小学生の算数の教育方針は理解しがたいものになるのかも知れません。ですが小学生ではまず数学の根本をまず学習して、そこから中学、高校に上がる過程で数学を理解していくものだと他の回答者の意見を聞いて思いました。

回答者の意見を聞く中で、6×3を排除してはならないという意見がたくさんありました。それは私も思うことです。ですが、それは小学校で教えることではありません。
ただ、まったく教えてはいけないかと言われればそうではないと思います。なのでこれからの教育においての課題はそこにあると今回の質問で思いました。

このような質問と質問者に時間を割いて頂き、本当にありがとうございました。

お礼日時：2011/12/24 19:27

No.10 回答者： banakona 回答日時： 2011/12/24 07:20

（答えになっていません）

へぇ今でもそうなんですね。
ン十年前に私が算数を習ったときと同じなんだ。

今は英語で　Ｉ am Yamada　Taro .（Taro Yamadaではなくて）と教えるように、算数も時代が変わっていることを期待していたのですが。

恐らく指導要領でもそうなっているのだろうから　6×3＝18　をバツにする教員をバカとは思いませんが、＃５さんの言うようにグローバル化には対応していないでしょう。

それに、数学へ進んだときに混乱が生じないかと言う疑問もあります。
リンゴの個数をｘと置いた場合に　ｘ６　と書く学生がいそうです。　

脱線しますが、私が分数を習ったときは「仮分数は帯分数に直せ」と言われました。ところが高校（なぜか中学ではない）では「帯分数は使うな」と教わりました。恐らく、前者は大小関係の分かりやすさ、後者は「積と混同しないように」という理由があってのことだと思います。でも私に言わせれば前者は余計なお世話です。数学を習うときに混乱しないように仮分数ＯＫにすべきでしょう。

話を元に戻します。

私は　6×3＝18　も正解にすべきだと思います。

どう教わったかをお子さんに聞いてみましたか。それでも要領を得なければ、その先生に訪ねてもいいでしょう。指導要領がそうなっているのか、もしそうならなぜ指導要領はグローバル化に対応していないのかと。採点結果に噛み付く親なら私が小学生だった頃にもいました。この程度のことをするのはモンスターペアレントとは思いません。たとえ却下されても、指導要領に疑問を持つ人がいるという情報を伝えるのは意味のあることだと思います（私は子どもがいないので、こうしたことをやりにくい立場に有ります）。

No.9 回答者： staratras 回答日時： 2011/12/24 01:13

教室で先生が教える考え方は次のようなものでしょう。

子ども１人が３個のリンゴをもらうのだから、６人ではその６倍必要となる。３×６=１８　

このように考えるのが「よい子」です。この式は「1人は３個、６人分だから６倍」の意味です。

しかし、６×３=１８　がまったくの誤りとは言いきれません。というのは次のように考える「悪い子」もいるからです。子ども６人にひとり１個ずつ配ると、リンゴは６個がいる。これを３回くり返せば、６人が３個ずつもらえることになる。

６×３=１８　この式は「ひとりに１個ずつ配ると６個、３回分だから３倍」の意味です。

「よい子」のやり方の方がわかりやすいことは確かですが、「悪い子」のやり方もまちがいではないので、教える側は、６×３=１８　という式を立てた子どもには「なぜそのような式を立てたのか」を聞いて、それが理にかなっているかどうかを確認する必要があると思います。

No.8 回答者： bara2001 回答日時： 2011/12/24 00:49

教師がバカなだけです。

掛け算ていどならこんな話でしょうが、数学の解法ってのはいろいろ工夫できるし、そういう方法を検討すべき学問です。
私が小学生でこんな教師に当たっていたらバツをくらっていたでしょうね　w
私は学生時代には数学が一番の得意科目でしたが。

たとえば図形問題であれば、幾何とベクトルと座標系での検討は普通にしましたし、それを「この問題は幾何でやれ」と言われても到底納得できないでしょう。
これが今の教育レベルかと思うと、日本崩壊はすでにはじまってますね。

No.7 回答者： MarcoRossiItaly 回答日時： 2011/12/24 00:19

No.3です。

学習指導要領？と言うのですか？
それに合っていないからといって、正解を不正解と学校で教えてしまうのは、好ましくないと思います。
6×3=18と書いたからといって、一人に6個配ったことを意味するわけではありません（No.3参照）。

3×6=18しか教えていなかったところ、たまたま6×3=18と書いた生徒がいて、それは先生の意図とは違っていた。
しかし、たとえ違っていても、正しいものは正しいので、○にしてあげないといけないと思います。

教えたのとは異なる自由な発想によりその式を書いたのか、それとも単に教えられたことを理解していないために書いたのかは判別できませんが、正しいものは正しいのです。
先生のほうに問題があると捉えるべきでしょう。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/12/24 00:08

私は小学校教育の関係者ではないので、想像なんですが、

最初の掛け算のごくごく初等的な教育では
掛け算　3X6 は 3個の6倍 で後ろの 6倍は足し算の回数という
ように教えるのだと思います。
＃多分絵を使った解説付きで

だとすると、6X3 (6人の3倍？？？)は理屈に合わないので
却下(不正解)なのでしょう。

これ、何年生まで強制されるのかな？

ちょと興味があります。