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http://ufcpp.net/study/set/cardinality.html#carg …

上記のサイトを眺めておりましたところ、下記の記述に出会いました。

===引用===
余談になりますが、 この記号 ‭א は、 ヘブライ文字の1文字目で、ギリシャ文字のα、ローマンアルファベットの a の元になった文字です。 無限基数の中で小さいものから順に、 ‭א0 , ‭א1 , ‭א2 , ・・・ と表します。 昔は、 無限基数を小さいものから順に、 ヘブライ文字の第 n 文字目で表していました (aleph, beth, gimel, daleth, ・・・)が、 読めないし、写植の上でもなかなか表示できないので、 アレフの右下に添字を付ける今の表記法になりました。
===引用終わり===

恥ずかしながら、無限集合の濃度の事を聞いて以来、無限集合の濃度は下限が ‭א0で上限がא1なのかと勝手に思っておりました。
ところが、上述のように、 ‭א0 , ‭א1 , ‭א2 , ・・・ ということでありますと、俄然 ‭ ‭‭א2の濃度を持つ無限集合に興味が湧いてまいりました。

連続体濃度よりも濃度が大きい無限集合とはどのような集合でしょうか?
数学の素人なものですから、直観的に理解できそうな実例を一個・二個、お示し頂けるとありがたいです。

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A 回答 (17件中1~10件)

正整数の集合N から素数の集合P への*全射でない単射*を作ってみましょう.



Fn = 2^(2^n)+1 をフェルマー数とします. すべての m, n に対して Fn と Fm が互いに素であることは容易に証明できます. つまり, 任意の n に対して「Fn の最小素因数」が相異なることになります. そこで
f(n) = 「フェルマー数Fn の最小素因数」
とおけばこの f(n) は N から P への単射であり, かつ (f(n) = 2 となる n は存在しないので) 「全射ではない」ことが分かります.

あと, 「未だに「実数+リンゴ」と「実数」の間には全単射があることを説明できません。」ということですが, これは「リンゴ」と π を対応させれば後は「π でない実数全体」と「実数全体」との間に全単射があるかどうかという問題に落ちます. 説明できない?

ついでにいえば, 「部分集合でありながら一対一対応ですか?」という疑問を持っているようですが, 「整数と偶数の間に 1対1 の対応がある」ことは不思議に思いませんか? また, この性質は実は「整数が無限に存在する」ことと等価です. なぜなら, 無限集合は必ず「1対1 対応が存在するような真部分集合を持つ」からです.

この回答への補足

‭א0 , ‭א1 , ‭א2 , ・・・ ということでありますと、俄然 ‭ ‭‭א2の濃度を持つ無限集合に興味が湧いてまいりました。

ということで、質問してみたのですが、結局、アレフ2の無限集合のイメージは得ることが出来ませんでした。
また、べき集合の元の数はからなず元と集合の元の数よりも多いといっても、それが有限集合のときは自明ですが、対象が無限集合、とくに連続体無限の場合には、元が増えても濃度が同じかもしれないという不信感が残ります。
換言すると、真部分集合なのに一対一対応が存在できるという無限集合の性質その物に関する違和感なのだということが理解できました。

有限の世界に生きている人間でも、数学の勉強をつづければ無限の世界に違和感をもつことが無くなるのでしょうか。

補足日時:2012/01/10 13:02
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この回答へのお礼

たこさん、何度もありがとうございます。

有限の世界に生きている我々が無限を理解するのは、2次元平面に生きている平面カエルが四次元時空を理解するごとき難しさ(=違和感、不可解さ)があるのでしょうね。

結局、べき集合の濃度よりも、”真部分集合でありながら一対一対応が存在する”という、無限集合ならではの真理に関する違和感が払しょくできずにいます。

数学的思考と言うのは、記号の列が無矛盾に整合しておれば、違和感を払拭できずとも良しとする覚悟がいるのでしょうか。

私は、当面アレフ0とアレフ1だけの世界で十分生きて行ける(笑)、と思うようになっております。

お礼日時:2012/01/10 01:38

 #14です。

これだけは喋っておきたかったので、投稿させて下さい。

 アレフ0とアレフ1の階層化には納得されている、という事ですが、これだって工学屋にとっては、一瞬だけど致命的な結果に見える(一瞬ですけど・・・)、という話です。

 工学屋は、連続関数の離散化近似を、頻繁にコンピューターにやらせます。目的の連続関数に出来るだけ多くのサンプル点を取り、サンプル点では目的の関数の値を与え、その間は折れ線でつなぐ。簡単に言うと、こんな感じのプログラムを書きます。工学屋の日常感覚では、サンプル点を無限に増やしていけば、いつか連続関数のグラフの全ての点を「取り尽くせる」だろうから、この離散化近似は妥当だと考えます。工学屋の感覚なんて、こんなものです(そうでない工学の人達、御免なさい・・・)。

 でもアレフ1の点を取り尽くすなんて、できっこないんですよ。現実に出来るのは、常に有限個の点であり、その行為を数学的に理想化しても到達できるのは、アレフ0までです。これは有理数全体の上で、連続関数の値を与えたのと同じです。Card(Q)はCard(R)にとって有限と同じですから、離散化近似の極限においてすら、もとの連続関数に対して、無数の穴ぼこが開いている事になります。これでは、離散化極限が元の関数に収束する、などとはとても言えず、ふだん行っている数値計算のほぼ全部は、ご破算になります。けっこう、大変なショックでした。はっきり言って、気持ちの持って行き場がありません。

 これに気づいたのは、大学院で境界要素法をやっていた時です。自分は工学屋といっても、正体は構造力学(土木屋)なので、当時の指導教官に、こんな事は質問できそうにありません(不思議そうな顔をされるか、「訳わからん事を言うな!」と一括されるか・・・)。このとき本当に、アレフ0とアレフ1の断絶を実感しました。

 こういう経験をしたので、アレフ0とアレフ1の階層化に納得されているなら、何故ひょいひょいと、アレフ1,2,3,・・・を許してもらえないのだろう?(やってる事は同じじゃないか)、というのが最初の感想でしたが、引っ掛かり所は、人それぞれですよね。

 上記の件は、連続性という無限濃度とは全然違うアプローチ(実数の位相的性質)から解決されます。この辺りから、数学に足を突っ込んで行きました。

 自分は「全単射 ⇔ 同濃度」にはすぐ納得しましたが、偶数の集合と整数の集合の間に全単射が成立する、という記述にぶつかった時には、自分も「これはちょっと受け入れ難い」と思ったのは事実です。しかし慣れとは恐ろしいもので、今では投稿したような軽口を叩いています。というのは、濃度や集合論の話は、やればやるほど、

  「嘘かも知れないが、本当に良く出来た話だ・・・」

と思えるようになったからです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

質問では、アレフ2以上の無限集合のイメージを問うてみたのですが、実際のところは、アレフ0であろうととも、「真部分集合でありながら一対一対応が存在する」という事実の方が違和感がありまます。

これは、実数からなる集合から、其の要素の一つを選択した時に、其の要素が有理数である確率が確立=0であるという事実を知った時以来の驚き(=違和感)です。

まあ、それだけ無限の世界は不可解な世界であり、有限の世界に生きている我々には違和感があるということなのでしょう。

お礼日時:2012/01/10 01:32

「全単射の存在 ⇔ 同濃度」に同感できないということですが, 「A と B の間に全単射があればそれらの濃度は等しい」というのは濃度の「等しい」の定義なのでこれを受け入れないというのであれば新たな定義 (と新たな表現) を作ってください.



そして, 「実数からなる集合をRとする。Rにリンゴを加えた集合をXとする。」というとき, R と X の間に全単射を作ることができるわけですから「R と X の濃度は等しい」ということになります.

あと, ややこしいところですが「基数 (cardinal)」と別に「順序数 (ordinal)」というのがあって, 「基数は同じだけど順序数は違う」という状況を作ることができます.

余談ですが #13 からさらに進めて R-Z と R との全単射を考えると実は R×N と R との全単射に等価だったりします.
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この回答へのお礼

何度もありがとうございます。

定義に挑戦したいわけではないのです。
定義は定義としてGivenで良いのですが、定義どおりの集合とはどんなものか、その定義からは辻褄があわない事例を示せるのではないか、との好奇心から質問させて頂きました。

定義「全単射の存在 ⇔ 同濃度」のうち、
「全単射の存在 ⇒ 同濃度」の部分には疑問を持ちません。
「同濃度 ⇒ 全単射の存在」の部分には、どうも例外が有りそうな気分なので、パイを除外してみてはどうか、リンゴを足してみてはどうか、などと質問してみました。

実際のところ、未だに「実数+リンゴ」と「実数」の間には全単射があることを説明できません。
「自然数N+リンゴ」が「自然数N」と一対一対応するのは説明できますが、連続体である実数の場合にはどう説明したものか?
自然数なら一つ穴があっても、以降、隣の数と一対一対応を続けることができますが、実数の集合Rは連続体ですから「隣の数」というものが存在しないので、この論法は使えないのではないか。
Nの場合は、N+1が隣の数ですが、Rの場合は何を+したら隣の数になるのか?

また、アレフ0の集合同士の比較でも、腑に落ちないケースがあります。

自然数からなる集合をNとし、
素数からなる集合をPとすると、
PはNの部分集合であるが、無限集合であるからアレフ0です。同濃度だと言うと一対一対応があることになりますが、部分集合でありながら一対一対応ですか?
Pの要素がNの要素に対応に対応するのは自明です。しかし、100兆∈NがPのどの要素に対応するのか不明です。つまり、P⇒Nが成立しながらも、N⇒Pが成立しないような気分なのです。無限集合であるがゆえの性質の何かを見落としているのでしょうか。

一方で、「素数は可付番だから濃度はアレフ0である」ということで、それ以上考える必要が無いことは判っているのですが、、、。

このへんの堂々巡りからなんとか脱出して、何の躊躇もなく、「素数の数は自然数の数と同じだ」と言えるようになりたいのです。

お礼日時:2011/12/31 11:37

 #12です。




>沢山2の集合のイメージを掴んでみたいものだ、と思った次第です。

 これには「これ」というイメージはないでしょうね。絶対に見れないものを、見ようとしてる訳ですから。自分は、#3で述べたような危ないイメージを持ってます。#4さんの指摘だけでなく、これを「情報量」と結びつけて考えたい、という誘惑にかられます。・・・また一杯怒られそうだ・・・(^^)。


 ところでここでは、

  ・なんで全単射じゃ駄目なんですか? (蓮舫さんじゃないですが・・・)

と質問してみます。

  全単射の存在 ⇔ 同濃度.  (1)

という「定義」は、自分には、とても自然に見えるからです。(1)は、日常生活で常に行っている、「指折り数える事」を抽象化した数学的表現だと思います。自分の5本の指と、5個の物体を、「余すところなく、1対1に対応付ける事」 ⇔ 「全単射」 という構図です。

 (1)の妥当性は、A,Bが有限集合の場合は明らかです。実際、

  ・AからB,BからAへの単射がともに存在する ⇔ 全単射がある ⇔ 同濃度(同じ個数)  (2)

が成り立ちます。つまりBの要素は、指(A)以上あり、余りもなかったという当たり前の話です。問題はこれを、無限集合に持ち込んだら、どうなるか?です。

 A,Bが無限集合の場合、ふつうの考えでは同濃度でないと考えられる集合間にも、(2)の、「最左辺 ⇔ 中辺」が成り立ってしまう(ベルンシュタインの定理)。卑近な例は、偶数全部の集合Aと、整数全部の集合Bだと思います。

 AはBを半分に抜粋したものだから、絶対にCrad(A)<Crad(B)に違いない、が普通の感覚です。しかし偶数mを、整数nで、m=2nと書いてしまうと、(2)の「最左辺 ⇔ 中辺」は明らかです。この時も(1)の妥当性を信じて、「中辺 ⇔ 最右辺」を認めるかどうかです。ここで立場は、概ね2つに分かれると思います。


  (3)現行の集合論は、どこかおかしいのではないか?。有限で成り立つ(1)を、盲目的に無限に適用した結果がこれだ。偶数と整数の集合で、(1)は機能不全を起こしている。従って(2)は認められない。

  (4)これはとても魅力的な事だ。「1,2,・・・沢山」の沢山の個数を、一般的に比較する手段が見つかった。沢山は階層化できる可能性がある。


 もちろん致命的な欠陥があれば、(1)は廃止されたはずです。そこで色々試されます。アレフ+アレフ=アレフの話が出たので、次の例をあげます。以下で、アレフ以下と書いたら、アレフ以下(有限含む)です。

  ・アレフ+アレフ以下=アレフ  (5)
  ・アレフ×アレフ以下=アレフ  (6)

 (5),(6)については、ベルンシュタインの定理などを援用して、一般的に全単射の存在を示せます。次に濃度の引き算,除算ですが、定義できません。それは解無しの意味でなく、不定解だからです。それは(5)を見れば明らかと思いますが、解は(一つではないが)ある事に注意して下さい。
 引き算(もどき)を考える場合は、不定解なので、特定の状況を用意する必要があります。例えば、アレフ=Card(R)=連続無限,アレフ以下=Card(Q)=可算無限,Q⊂Rは有理数の集合、という状況で考えます。(5)を見れば、答えにはすぐ見当が付きます。

 「本当は、こんな式は書いてはいけない」という但し書きのもと、

  Card(R)-Card(Q)=Card(R)

です。なので、Rから素数全部を抜いたR’とRの間には、全単射が必ず存在します。それは(5)の証明を、少々組み変えるだけです。

 (5)は、次のようにも読めます。連続無限にとって、可算無限は有限と変わらない。よって「連続無限-可算無限」⇒「連続無限-有限」⇒「連続無限-1」⇒「沢山-1」=「沢山」となり、沢山は沢山だから全単射、という自分の呑気さの出所です(^^)。

 このように色々試されたのですが、数学の通常営業(?)に関しては、さしたる支障は出ませんでした。ただし、余り奔放にやると矛盾する事がわかったので、矛盾の出ない限界を「経験的に」定め、公理的集合論が登場します。そうなると次の問題は、経験的限界内では完璧に上手く行くのか?、ですが、

  「「完璧に上手く行く保証を与える事は、無理」な事が、保証されてしまった」

という悩ましい状況です。なので、(3)の立場は、今でも「あり」なんです。その一つが、全ての無限集合を可算無限に抑える公理系の立て方です。無限の、沢山の階層化は許さん、とする立場です。


 最後に対角線論法ですが、(1)を妥当と認めたとしても、全ての無限集合の間に全単射が成り立ってしまったら、身も蓋もない話になります。そうでない例が、最初に対角線論法で発見され、整備してみると、とても強力な方法だとわかりました。対角線論法は、存在証明で「ない」事に注意して下さい。

  AからBへの全単射が存在すると、仮定する ⇒ 矛盾する ⇒ AからBへの全単射が「存在してはいけない」

です。だからCard(A)<Card(B)を示すような別の方法が無いとは、誰も言えない事になります。それは(1)に反するものかも知れません(望みは薄い気はしますが)。その望みの薄さを感じ取って、強力で一般的な保証を与えてくれる対角線論法を多用しているのが、実情と思えます。要するに#13さんの仰るように、ケースバイケースで事に当たってます・・・、自分は余り楽しくないですけど・・・。


 いずれにしろ日常感覚とは、かけ離れた話にはなります(・・・無限ですからね)。#13さんの仰るように、「数学は数学の事として語るのが良い」は、本当です。

 と言いつつ、自分はいつも逆だな、と今ちょっと思いました・・・(^^;)。
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この回答へのお礼

再三のご教示ありがとうございます。

無限のことに関しては、他の分野ほど難解な定義を持ち込まなくても話が進むものですから、素人でも入り込めそうな気がするのです。
しかし、それもアレフ0とアレフ1(あるいは連続体の無限)までの話であって、アレフ2とか、それ以上の濃度を持つ無限には、一般的な感覚で取り組むことが出来ない領域なのでしょうね。

本を読んでいるだけでは気付かなかった事でも、自分の頭(未熟なる頭)で考えてみると、新しい発見があります。

今回は、下記の事をよく理解でしました。
自然数のからなる集合をNとします。
素数からなる集合をPとします。
両方とも可算無限で、アレフ0ですから、一対一の対応があります。
つまり、
P⊂Nであっても、PとNに全単射が存在する。

このことこそが、二つの集合が共に無限集合である場合のみに成立する特徴なのですね。

いろいろと示唆に富むご投稿に感謝します。

お礼日時:2011/12/31 12:51

基本的なことについては、また間違いを


やらかすといけないから、ひとことだけ。
AからBへの単射が存在する ⇔ AはB以上の濃度
は、これ自体が「濃度」の定義です。
府に落ちるとか、理解するとかいう話ではない。
ただ、知っておくだけのことです。

R''→R の全単射は、
No.10 と似たような感じに
x→x/p (xが素数pの累乗のとき)
x→x (それ以外のとき)
でもよいし、
更に穴を増やして、ハサミウチする手もあります。
R''' を R から自然数を除いた集合とすると、
R⊇R''⊇R''' より ♯R≧♯R''≧♯R''' ですが、
R'''→R の全単射
x→(1-x)/2 (xが奇数のとき)
x→x/2 (xが偶数のとき)
x→x (xが整数ではないとき)
が存在して、♯R=♯R''' です。
他にも、やり方はいくやでもあります。

いつでも濃度の比較ができるマニュアル式の
やり方はないので、厄介というか楽しいですが。
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この回答へのお礼

再三のご教授ありがとうございます。

そうですか。MとNがおなじ濃度である場合には、必ず全単射ができるはずなんですね。

最後に一つだけおしえてください。
実数からなる集合をRとする。
Rにリンゴを加えた集合をXとする。
この場合、XはRよりも濃度が高い集合ってことになりますか?

もし、これがYESなら、原質問の
「直観的に理解できそうな実例を一個・二個、お示し頂けると、、、」
がクローズできそうです。

お礼日時:2011/12/29 10:43

 #3です。

基本的なところと思えるので、確認してみたくなりました。


>無限集合を比較する時には、単写できるかどうかで、濃度が同一か否かの議論はできないなと思うわけです。

 単射では駄目です。そのような事は、偶数から自然数への「不味い」写像の例などで、既にご経験済みの事と思います。全単射でないと駄目です。単射になる写像f:A→Bの存在を示しただけでは、Card(A)≦Card(B)しか言えません。これは有限集合を考えたら、明らかと思います。

 全単射の存在 ⇔ 同濃度.

を、違和感なく納得なさっているのでしょうか?。そうであれば、自分としては何も言う事はありません。


>R'からRに単写(全単射 ← 自分の追記です)できまませんが、・・・

 それとも例えば、R'からRへの全単射が「なさそうに見えた」、というところが「腑に落ちない原因」だったのでしょうか?。確かにある任意の集合からある集合への全単射の存在を示すには、苦労する場合もあります。それは、#9~#11さんの応答を読めば、わかると思いますが、こういう場合に自分は、数学専門ではないので、次のように「気楽」に考えてしまいます。

 無限の定義には数種類ありますが、最もわかりやすいのは、次だと思います。

  ・無限とは、有限でない事.

 この定義の前には、有限に関する厳密な数学的定義はもちろん必要な訳ですが、これは言い当て妙だと思います。つまりこの定義は、「1,2,3,・・・,沢山」という数え方と同じです。無限は計数不能だ、という定義です。
 だとしたら、計数不能なRから、一点πくらい除いたって、「沢山-1」も「沢山」=「計数不能」=「無限」なんだから、「R'からRへの全単射が存在するに違いない」という感覚を持ってしまいます。

 もちろんこの全単射を、ふつうの意味で具体的に構成できない場合もあるでしょう。しかし「選択公理」でも持ちだせば、「非構成的に存在する事は示せるさ」、とも思ってしまう訳です(←その証明を、やりもしないくせに)。お気楽過ぎるのかなぁ~、と時々自分でも思います。どうしてかと言うと、濃度の一つの定義は、以下だからです。

  ・2つの集合間に全単射が存在する、という関係は、同値関係を満たす.
  ・なので、その同値類の代表元(集合)をAとした時、Aが属する同値類をCとして、Card(A)=Cと「みなせる」.
  ・これをCard(A)の定義にしよう!、となるからです。


 どうでしょうか?。
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この回答へのお礼

再投稿ありがとうございます。

 全単射の存在 ⇔ 同濃度.

上記に全く同感できません。
ですので、実数の濃度が加算濃度と異なることの証明が二種類あって、そのうち、対角線論法を使用しない方、極限値をもとめる方法でアレフ0とアレフの違いまでは納得くしておりました。

すなわち、
「1,2,3,・・・,沢山0、沢山」という区別ですね。

ところが、今回、ひょんなところでアレフ2なる記述に出会いました。

言いかえると「1,2,3,・・・,沢山0、沢山1、沢山2、、、」という事を示唆されたのものですから、沢山1と沢山2は何が違うんねん? 沢山2の集合のイメージを掴んでみたいものだ、と思った次第です。

ちなみに、
 ・無限とは、有限でない事.

この定義は、二三年前にカントールの話が書いてある本、
「大人のための数学(3) 無限への飛翔 集合論の誕生」を読むまでは、疑問を持っていませんでした。

無限とは有限の否定概念であるという単一概念であり、濃度の違いなど解像度良く無限を観たことはありませんでした。

上記の本に出会ったおかげで、無限の概念に対する解像度が向上したのですが、沢山1と沢山2の違いは未だに腑に落ちませんねぇ。

お礼日時:2011/12/28 21:17

そうか, π のところにあいているあなを上から埋めるだけでいいんだ>#10. ただまあ「濃度が実数と等しい任意の集合から実数全体への全単射が常に作れるか」といわれると困りますが.



ついでに: #8 へのお礼で「両者の濃度はともにアレフ1だと思います」と書いてありますが, #6 で既に書かれているように「実数の濃度が『アレフ1』かどうか」は決められません. アレフ1 と仮定してもいいしそうではないと仮定してもいい.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

連続体仮説っちゅうやつですね。
私としては、自然数の集合の濃度の、実数の集合濃度が分かっておって、その中間の濃度を持つ集合がみつかるまでは、アレフがアレフ1だと仮定して暮しておればよいと思います。

お礼日時:2011/12/29 11:51

A No.5 でスカタンをやらかした者です。



巾集合の間違いは、
質問者自身で直してもらうとして、

R’→R の全単射は、
x→x-π (x/πが自然数のとき)
x→x (x/πが自然数ではないとき)
でも済むのでは?
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この回答へのお礼

重ねてご指導ありがとうございます。

べき集合の要素に関しては、別途、参考書を探すことにいたします。空集合の扱いも勉強してみます。

問題が発散しない様、対角線論法の根拠になっていると思われる
「二つの集合の間で一対一対応が見いだせない→二つの集合の濃度が同じではない」-----(命題1)
というロジックに絞ってご教示ください。

前回、反証になるかと思って挙げた「パイ抜き集合」では弱いので、今回はパイとチーズケーキを除外、、、ではなくて、もっと大量に、すべの素数(=無限集合)を除外した集合を考えます。

実数からなる集合をRとします。
集合Rからすべての素数を除外した集合をR"とします。

R"からRへの単射はできるでしょうか? 
出来ないと言う前提で申しあげると、下記の命題が真になります。

「RとR"は単射できなくても同じ濃度を持った無限集合である」
よって二つの集合が無限集合である場合、命題1は偽である。

二つの集合がともに有限集合である場合には、「単射ができない→基数が異なる」といえます。
しかし、無限集合の濃度の場合は、アレフ+アレフ=アレフという演算が可能です。
したがって、一対一対応の有無をもって、濃度の同一性を断じることは出来ないと思います。

この点が十分に理解できない為に、「対角線論法で証明される」という行(くだり)が腹に落ちません。頭でも理解できません。

お礼日時:2011/12/28 20:47

前者は明らかにあなたの勘違い. さらにいうと文章もおかしい. たとえば


「Aの要素がaとbのとき、P(A)の要素は{a,b,(a,b)}の三つですが」
と書かれていますが
・「Aの要素がaとb」と書くなら「P(A)の要素は{a,b,(a,b)}の三つ」はおかしい. 前者の書き方で「A が a と b の 2個の要素からなる」というのであれば, 後者は「P(A) の要素は『{a,b,(a,b)}』の 1つ」としなければ書き方の整合性が取れない.
・「P(A) の要素」を a, b, (a, b) の 3つであるとしてもおかしい. A のべき集合は「A のすべての部分集合からなる集合」なので, (A の要素である) a や b が A のべき集合の要素となることはあり得ない. (a, b) も集合ではない以上「べき集合の要素」としては不適切.
・そこをそれなりに解釈しても, なお「A の部分集合を完全に列挙できていない」という問題は残っている. ここではあえて「何を忘れているか」は指摘しないままにしておきます.

で後者ですが, R' から R への単射は構成できます. まず, 正の実数の集合 R^+ からすべての実数 R への全単射は存在します (対数関数) し, {-1, +1}×R から R への全単射も作れます. そして R' から {-1, +1}×R^+ への全単射も作れる (x-π の符号と絶対値を考える) ので, これらを組み合わせれば「R' から R への全単射」になりますね.
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この回答へのお礼

重ねてご指導ありがとうございます。

べき集合の要素に関しては、別途、参考書を探すことにいたします。空集合の扱いも勉強してみます。

問題が発散しない様、対角線論法の根拠になっていると思われる
「二つの集合の間で一対一対応が見いだせない→二つの集合の濃度が同じではない」-----(命題1)
というロジックに絞ってご教示ください。

前回、反証になるかと思って挙げた「パイ抜き集合」では弱いので、今回はパイとチーズケーキを除外、、、ではなくて、もっと大量に、すべの素数(=無限集合)を除外した集合を考えます。

実数からなる集合をRとします。
集合Rからすべての素数を除外した集合をR"とします。

R"からRへの単射はできるでしょうか? 
出来ないと言う前提で申しあげると、下記の命題が真になります。

「RとR"は単射できなくても同じ濃度を持った無限集合である」
よって二つの集合が無限集合である場合、命題1は偽である。

二つの集合がともに有限集合である場合には、「単射ができない→基数が異なる」といえます。
しかし、無限集合の濃度の場合は、アレフ+アレフ=アレフという演算が可能です。
したがって、一対一対応の有無をもって、濃度の同一性を断じることは出来ないと思います。

この点が十分に理解できない為に、「対角線論法で証明される」という行(くだり)が腹に落ちません。頭でも理解できません。

お礼日時:2011/12/28 20:47

まず突っ込ませてもらうと, 「有限集合Aの要素の数が1の場合、P(A)の要素の数も1であり」というのは何かを勘違いしていると思います. A = {a} のとき P(A) の要素をすべて列挙してみてください.



あと, その「おとなのための数学(3)」という本は持っていないのですが, Map({0,1}、M) はおそらく「M から {0, 1} への写像全体の集合」ですよね. なら, 「カントールの定理」の証明はおそらく対角線論法でしょう. 証明がどう記述されていてどこで「腑に落ちない」のかを書いてくれれば, 概略を説明するかもしれません... とはいえ, R=2^N であることを認めてしまえば本質的に「N と R の間に 1対1 の対応が作れない」という対角線論法と同じだけど.
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この回答へのお礼

再度のご投稿ありがとうございます。

Aの要素がaとbのとき、P(A)の要素は{a,b,(a,b)}の三つですが、
Aの要素がa唯ひとつのとき、P(A)の要素も{a}の唯ひとつとなり、基数が同じと思います。

次に、上記の本での証明ですが、集合Mの要素を入力として、0か1の出力を返すブール関数φを定義します。またφの値との排他的論理和が常に真であるブール関数ωを定義します。φとωを要素とする集合は集合Mから単写できないことから、いかなる集合Mよりも、より濃度の高い集合が定義可能である、と説明しているようです。(本の記述そのものではなく、自分の理解で、自分の言葉で書いてみました)

私の理解は、上記のMが有限集合である場合には異論がありませんが、無限集合である場合に、単写できない→濃度が高い、というロジックが理解できません。
一例をあげると、実数からなる集合Rと、Rの要素からπ(円周率)を除外した集合R’を定義すると、R'からRに単写できまませんが、両者の濃度はともにアレフ1だと思います。
つまり、無限集合を比較する時には、単写できるかどうかで、濃度が同一か否かの議論はできないなと思うわけです。

お礼日時:2011/12/28 12:49

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Aベストアンサー

フレアではなく、アレフ1ではないでしょうか。
アレフというのは、イスラエルの公用語のヘブライ語のアルファベットで、英語の「A」に当たるものです。

さて、アレフ1というのは、実数濃度です。
濃度というのは、直感的にいえば、無限集合の大きさ・濃さのことです。無限集合なんだから、どの無限集合も、大きさは無限なんじゃないか?といえば、それはその通りなんですが、無限同士を比較する方法があるのです。

それは、ある無限集合Xと無限集合Yの間に、全単射f:X→Yで、1:1の対応がつけば、XとYは、同じ濃度だ、と定義する方法です。

さて、アレフ1というのは、実数全体の濃度です。当たり前ですが、実数全体は、無限個ありますね。さて、閉区間[0,1]にも、無限個の点があることがわかりますか?例えば、0.1より、ちょっと大きい数というのを考えて見ましょう。
0.11>0.101>0.1001>0.10001>0.100001>...>0.1
と、このように、数を作っていけば、0.11と0.1の間に、無限この数があることがわかりますね。

閉区間[0,1]と、実数全体の間に、全単射となる写像を作ってやればいいのです。つまり、ある全単射な関数f(x) (0<=x<=1)の値域が、実数全体であればよいわけです。
このf(x)は、次のようにして、作れます。
まず、正の実数全体{x|x∈R,x>0}と、実数全体の間に、全単射な写像が作れることを示しましょう。実は、良く知られている次の関数が、この全単射な写像になっているのです。
f(x) = ln(x) (x>0)
ln(x)は、xの自然対数です。
なぜか、ちょっと証明してみましょう。ln(x)の値域が、実数全体であることは、既知としてよいですね。x→+0とすれば、ln(x)→-∞ですし、x→∞で、ln(x)→∞。
そして、ln(x)は、連続な関数です。つまり、関数が途中で切れていて、その間で値が飛んでいるなんてことはないので、任意のy∈Rに対して、必ずy=ln(x)とかけるxがあることがわかります。
したがって、正の実数全体と、実数全体の濃度は、同じであることがわかりました。実数全体の濃度のことを、アレフ1といったので、正の実数全体の濃度も、実数全体の濃度と同じアレフ1です。

今は、無限個の話をしているので、有限個の元を加えても、濃度は同じになりますから、正の実数全体に、{0}を加えて、非負の実数全体{x|x∈R,x>=0}も、正の実数全体の濃度も、アレフ1です。
次に、「非負の実数全体」{x|x∈R,x>=0}と、閉区間[0,1]の間に全単射を作ります。

f(x)=2x (0=<x<=0.5)
=1/(2x-1) (0.5<x<=1)

じーっと見てください。全単射が作れているはずです。
これで、閉区間[0,1]と、非負の実数全体が、同じ濃度であることがわかりました。非負の実数全体の濃度は、先ほど示したように、アレフ1だったので、閉区間[0,1]も、アレフ1です。

実は、三角関数tanを使うと、もっと簡単にできます。tan(x)は、x=-π/2でtan(x)=-∞をとり、x=0で、tan(x)=0で、x=π/2で、tan(x)=∞ですから、xを(-π/2,π/2)で動かすと、実数全体に対応してします。しかも、間が全部連続です。0<=x<=1のとき、-1<=1-2x<=1なので、
-π/2<=π(1-2x)/2<=π/2であることに注意すると、

f(x)= tan(π(1-2x)/2)

とすれば、[0,1]の濃度が、実数全体の濃度アレフ1であることが示せます。

フレアではなく、アレフ1ではないでしょうか。
アレフというのは、イスラエルの公用語のヘブライ語のアルファベットで、英語の「A」に当たるものです。

さて、アレフ1というのは、実数濃度です。
濃度というのは、直感的にいえば、無限集合の大きさ・濃さのことです。無限集合なんだから、どの無限集合も、大きさは無限なんじゃないか?といえば、それはその通りなんですが、無限同士を比較する方法があるのです。

それは、ある無限集合Xと無限集合Yの間に、全単射f:X→Yで、1:1の対応がつけば、XとYは、同...続きを読む

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q連続体仮説に懐疑的な理由?

Wikipediaを眺めていましたら、下記の記述に出会いました。

===引用===
多くの集合論の専門家は、連続体仮説は偽であると考えているか、または真偽に対して中立的な立場を取っている。
===引用終わり===

私は、自然数で1の次が2であって、その中間は無いというのと同じぐらいに、アレフ0のつぎがアレフ1で、その中間は無いという連続体仮説が自然に思えて、なんら違和感を持たないのです。

多くの集合論の専門家が連続体仮説に懐疑的なのは、どのような考えがあってのことでしょうか?

Aベストアンサー

補足しておきます。
連続体の濃度はアレフωのようななれない濃度以外はとり得ますが、アレフ2現象もあり、他の良い性質と両立させながらアレフ3以上にするにはアレフ2以下に比べて不自然と言いたくなるくらいの努力が必要になります。
また、連続体仮説を前提にすると、そこから導かれる結果の多くが連続体仮説と同値になることが知られていて、数学的に薄っぺらな理論になってしまいます。
そんなわけで、研究対象としてみるならアレフ2にしたいと考える人が多いわけです。
数学は無矛盾ならどんな公理を選んでも構わないというタテマエはありますが、実際には人間が社会生活の中で行う営みの一つですから、研究の方向がある程度見える対象で、なおかつ面白く数学的に豊かなものを選びたいと思うのはある意味当然なのではないかと思います。

Qアレフ0より小さな濃度をもつ無限集合

 
アレフ0(可算集合の濃度)より小さな濃度をもつ無限集合はありますか。
 

Aベストアンサー

> 可算選択公理(英語版)(選択公理の弱いバージョン)を仮定すれば、\aleph_0 は他のどんな無限基数よりも小さい。
# http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0

上記から少なくとも可算選択公理が成り立たない体系を想定しないと、質問の無限集合は存在しません。

アレフ0より小さい無限濃度の無限集合が存在するなら自然数全体Nの中への単射が存在するわけです。
その像が最大値を持つと有限になるので、その像は最大値を持たない。
自然数の部分集合は最小値を持つので、小さい方から順に対応付けすると自然数から仮定した無限集合の中への単射が作れそうな気がしますが、可算選択公理がないからこれが関数にならないのかな。
何にせよ、アレフ0と比較不可能というくらいならともかく、より小さな無限濃度の存在はかなり不自然ということは認識頂けると思います。

Qא (アレフ)の書き方

基数を表す記号 א を手書きする場合、どういう風にかいたらいいんでしょう?
本で活字としてしか見たことが無いので
・手書きだとどんな形になるのか
・筆順はどうなのか
が分かりません。
書き方の載っているサイトを教えていただけたら、なおありがたいです。

Aベストアンサー

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/techterm/aleph.html

Q実数体RからRへの写像の全体の集合の濃度>Rの濃度、について

集合の濃度についての質問です。数学書に、実数体RからRへの写像の全体の集合の濃度>Rの濃度、とありますが、よくわかりません。なぜかいうと、縦軸と横軸として、実数直線Rをそれぞれとると、集合の包含関係から、実数平面RxRの濃度>実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度、となり、そのとき、RxRの濃度=Rの濃度なので、Rの濃度>実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度、となると私は思うからです。この考えのどこを訂正したらいいのか教えてください。

Aベストアンサー

 #1さんと同じです。
 本当は、こんなにざっくり言ってはいけないのでしょうけど・・・。

 xy平面に100×100の格子点を想像して下さい。これをR^2と、とりあえずみなします。R^2は100×100個です。
 RからRへの写像全体を数えてみると、まず1列目からは100通りの選び方があり、そのそれぞれに対して、2列目からは100通りの選び方があり、・・・と、100^100個になります。
 一方R^2の部分集合の取り方は明らかに、RからRへの写像全体の作り方より多いはずです(各列から必ず一個とは限らないから)。

 従って、
    R^2の部分集合全体
  > RからRへの写像全体
  > R^2

となります。点が無限個の場合も不等号の成立を言うためには、対角線論法が必要です。

Q可算無限集合と非可算無限集合の違いが分かりません。

例えば、こういう問題のときそれぞれ可算無限集合と非可算無限集合のうちどっちですか?
(1)0≦x≦1を満たす実数x
(2)任意の自然数N
(3)任意の実数R
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

本来の質問の趣意からは的外れなのを承知の上で,あえて,あさっての方向からツッコミを入れます.

たとえば,(1)について.
「0≦x≦1を満たす実数x」は,可算無限集合でも非可算無限集合でもありません.
そもそも,それは「集合」ですらありません.
「0≦x≦1を満たす実数x」とは何かと問われれば,たとえば 1/2 は答えのひとつです.でも,1/2 は集合ではありません.同様に, 1/3 も集合ではありませんし, π/4 も集合ではありません.

(専門家の方々へ:「公理的集合論では自然数も整数も有理数も実数も集合をもって構成するのだから,個々の実数だって集合だ」というツッコミはなしでお願いします)

(2)の「任意の自然数N」というのも,意味がはっきりしません.多くの人は(少なくとも私は),単に(現在の文脈から離れて)「任意の自然数N」と書いてあるのを読んだら,「N は変数記号で, 1 とか 5 とかの自然数を N に代入しうる」,つまり「N=5 と仮定する,などと宣言して議論を続けることが可能」と解釈するでしょう.そういう意味で「任意の自然数N」というのなら,それは集合ではありません.(3)の「任意の実数R」も同様で,この書き方だと,多くの人は(少なくとも私は)R は実数を代入可能な変数記号と解釈するでしょう.

質問の文脈をわかっている人には,上述の私の見解は「意地悪」というか「屁理屈」と受け取られるかもしれません.しかし,「数学的対象を,誤解が生じないように正確に言語で記述する方法を身につける」ことも,大学における数学授業の目標のひとつとすべきだと,私は考えています.集合や論理を内容とする授業ならなおさらです.こういう「屁理屈」のツッコミを受ける余地のない数学的内容の記述方法を,大学レベルの数学を学ぶ学生は身につけるべきです.

(1)(2)(3)のような言い方で暗に「~をみたす対象全体の集合」を意味することは,数学者の間でもときどき使われる言葉遣いではあります.しかし,それはあくまで,文脈を共有できている専門家同士でのみ通用する,用語の濫用と理解すべきです.少なくとも,大学教員が授業の中でそのような言葉遣いをすることは厳に慎むべきと考えます.

本来の質問の趣意からは的外れなのを承知の上で,あえて,あさっての方向からツッコミを入れます.

たとえば,(1)について.
「0≦x≦1を満たす実数x」は,可算無限集合でも非可算無限集合でもありません.
そもそも,それは「集合」ですらありません.
「0≦x≦1を満たす実数x」とは何かと問われれば,たとえば 1/2 は答えのひとつです.でも,1/2 は集合ではありません.同様に, 1/3 も集合ではありませんし, π/4 も集合ではありません.

(専門家の方々へ:「公理的集合論では自然数も整数も有理数も実数も...続きを読む

Q大学数学(集合)の証明

A差集合(B ∩C) =(A差集合B)U (A差集合C)
の証明を補助定理を使って証明してください
できれば説明もお願いします

差集合はキーボードで出なかったので
文字で書きました

Aベストアンサー

こんな流れかなぁ。

その「補助定理」を使うなら、

【 A - (B ∩ C) ∋ a とする】

・差集合の定義から、A と a の関係がわかる。(1)
・差集合の定義から、(B ∩ C)と a の関係がわかる(2)
・(2) から、B と C の少なくともどちらかには、a が含まれてないことがわかる(3)
・(1) と (3) から、A - B と A - C の少なくともどちらかには、a が含まれていることがわかる。

以上、「補助定理」の一方がいえた。

【(A - B)∪(A - C) ∋ a とする】

・和集合の定義から、A - B と A - C の少なくともどちらかには、a が含まれることがわかる。(2)
・(2) から、A と a の関係がわかる。(3)
・(1) と差集合の定義から、から、B と C の少なくともどちからには、a が含まれないことがわかる(3)
・(3) から、B ∩ C には、a が含まれないことがわかる(4)
・(2) と (4) から、A - (B ∩ C)と a の関係がわかる

以上、「補助定理」の他の一方がいえた。

こんな流れかなぁ。

その「補助定理」を使うなら、

【 A - (B ∩ C) ∋ a とする】

・差集合の定義から、A と a の関係がわかる。(1)
・差集合の定義から、(B ∩ C)と a の関係がわかる(2)
・(2) から、B と C の少なくともどちらかには、a が含まれてないことがわかる(3)
・(1) と (3) から、A - B と A - C の少なくともどちらかには、a が含まれていることがわかる。

以上、「補助定理」の一方がいえた。

【(A - B)∪(A - C) ∋ a とする】

・和集合の定義から、A - B と A - C の少なくともどちらかには、a ...続きを読む


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