X^3+2X-1=0の実数解をαとするとき(1)~(3)を証明しなさい。
(1)αが唯一1つ存在
(2)αは無理数
(3)pα^2+qα+r=0をみたすp、q、rは存在しない。
(4)1/αと1/(α+1)をpα^2+qα+rの形であらわせ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(1)は(与式)=f(X)のグラフより証明できました。
(2)は背理法でα=n/m(n,mは2以上で互いに素)とおいてみましたが、
最終的に
(m-n)(m^2+mn+n^2)=2m^n
でいきずまりました。
(2)でどのような点に着目するべきだったか
と
(2)~(4)の解き方と答えを教えて下さいm(o_o)m
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(3)p(α^3+2α-1)-α(pα^2+qα+r)=-pqα^2+(2p-r)α-p
-pqα^2+(2p-r)α-p+q(pα^2+qα+r)=(q^2+2p-r)α+(-p+qr)
pα^2+qα+rもα^3-2α+1も0なら、(q^2+2p-r)α+(-p+qr)も0
ならばα=(p-qr)/(q^2+2p-r)=0
p,q,rは有理数(?)だからαも有理数で矛盾
(4)1=2α+α^3=α(2+α^2),α^3+2α-1=(α+1)α^2-(α+1)α+3(α+1)-4=0
No.2
- 回答日時:
No.1です。
以下のように訂正します。よろしくお願いします。α=n/m(n,mは2以上で互いに素な整数)とおく。
これは(1)の解であるから代入すると、
(n/m)^3+2(n/m)-1=0
n^3+2m^2n-m^3=0
m^3=n(n^2+2m^2)
m=n(n^2+2m^2)/m^2
=n{(n/m)^2+2}
右辺より、mが整数であることに矛盾する。
よって、αは、無理数である。
No.1
- 回答日時:
(2)だけです。
(2)は背理法でα=n/m(n,mは2以上で互いに素)とおいてみましたが、
最終的に
(m-n)(m^2+mn+n^2)=2m^n
>でいきずまりました。
X^3+2X-1=0……(1)
α=n/m(n,mは2以上で互いに素)とおく。
これは(1)の解であるから代入すると、
(n/m)^3+2(n/m)-1=0
n^3+2m^2n-m^3=0
m^3=n(n^2+2m^2)
m=n{(n^2+2m^2)/m^2}
=n{(n^2/m^2)+2}
mは、nを約数にもつことになり、互いに素であることに矛盾する。
よって、αは、無理数である。
でどうでしょうか?
m=n{(n^2+2m^2)/m^2}
=n{(n^2/m^2)+2}
でm^2を{}内に反映させるというのは
いい工夫だと思いました。
ありがとうございます(゜-゜)
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