円錐の体積の問題【数I】求め方の違いについて

OHを高さとする円錐がある。OHを２：１に内分する点をMとし、
Mを通り底面に平行な平面で切る。HM=３cm、底面の半径を９cmとするとき、
HMを高さとする円錐台の体積を求めよ。

解けたのですが、解説の欄に

９＾２π×９÷３（１－８/２７)

という式が載ってました…
これはどういう考え方なのでしょうか。教えてください_(._.)_

ちなみに自分は、大きい円錐から小さい円錐を引いて
体積を求めました。答えは１７１π　cm＾３です。

No.4 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/15 18:44

OHを高さとする円錐がある。

OHを２：１に内分する点をMとし、
Mを通り底面に平行な平面で切る。HM=３cm、底面の半径を９cmとするとき、
HMを高さとする円錐台の体積を求めよ。

解けたのですが、解説の欄に

９＾２π×９÷３（１－８/２７)

という式が載ってました…
>これはどういう考え方なのでしょうか。教えてください_(._.)_

小さい円錐と大きい円錐の体積比は、２^3：３^3＝８：２７より、
円錐台と大きい円錐の体積比は、（２７－８）：２７　だから、
円錐台の体積
＝大きい円錐の体積×｛（２７－８）／２７｝
＝（９＾２π×９÷３）×（１－８/２７)

ということだと思います。

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2012/01/15 12:30

質問者さんが行なわれた、「大きい円錐から小さい円錐を引く」考え方と同じです。

9³-6³
=9³(1-(2/3)³)
=9³(1-(8/27))

くだんの円錐を縦に切って、断面を見たとき、大きい円錐の断面と小さい円錐の断面とは、
高さが相似比3:2です。
立体の体積は相似比の3乗ですので、27:8となります。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/15 11:54

>解説の欄に

>{((9^2)π×9)÷3}（1－(8/27)))

>という式が載ってました…
>これはどういう考え方なのでしょうか。

>ちなみに自分は、大きい円錐から小さい円錐を引いて
体積を求めました。

解説も質問者さんと同じ計算をしていることがわかりませんか？

V1={((9^2)π×9)÷3}
は大きい円錐の体積V1の式である事はわかりますか？
　底面の面積S1が　S1=(半径)^2*π=(9^2)π
　高さH1=MH*(1+2)/1=3HM=9
　体積公式V1=S1*H1/3={((9^2)π×9)÷3}
ですね。
小さい円錐の体積V2=V1*(相似比)^3=V1*(2/(2+1))^3=V1*(8/27)

従って円錐台の体積Vは
　V=V1-V2=V1-(8/27)V1=V1{1-(8/27)}={((9^2)π×9)÷3}*{1-(8/27)}
と大きい円錐から小さい円錐を引いた体積の式が、解説の欄の式に等しいことが分かるでしょう！

この回答へのお礼

なるほど!!考え方は同じだったんですね＾＾；
詳しいご回答ありがとうございました!!

お礼日時：2012/01/15 12:24

No.1 回答者： dorotarou333 回答日時： 2012/01/15 11:48

たぶん体積比の考え方だと思います。

OHを高さとする円錐の体積を1と置くと、OMを高さとする円錐は
高さも半径も2/3です。円錐の体積が半径^2×高さ÷3であるため
OMを高さとする円錐は1×(2/3)^3となります。
よって体積比はOHを高さとする円錐の体積:OMを高さとする円錐の体積=1:8/27です。

なのでOHを高さとする円錐の体積が9^2π×9÷3なので円錐台の体積は
(1-8/27)×(9^2π×9÷3)となります。やってることは質問者様のやり方と同じです。

この回答へのお礼

体積比だったのですか!

よくよく考えてみれば、考え方は同じだったのですね＾＾；

ご回答ありがとうございました!!

お礼日時：2012/01/15 12:23