f(z)=1/zとし、0.5+0iを中心とした半径1の円を反時計回りに一周積分したいのですが、
z=0.5+exp(iθ)、dz=i*exp(iθ)dθ
とおいて置換積分すると
∫1/z dz
=∫(i*exp(iθ))/(0.5+exp(iθ))dθ
=[ln(0.5+exp(iθ)]
=ln(0.5+exp(2πi))-ln(0.5+exp(0i))
=0
となって0になってしまうんですが、f(z)には0+0iに特異点があるので
留数定理より一周積分した答えは2πiになるはずだと思うので上記の計算結果が
なぜこうなるのか理解できません。
自分の何が間違っているのか教えてください。
よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
積分路C:|z-(1/2)|=1 の中の1/zの一位の極である孤立特異点は z=0 のみ存在。
留数Res(1/z,z=0)=lim(z→0) (1/z)z=1
留数定理より
I=∫[C] 1/z dz
=2πiRes(1/z,z=0)
=2πi
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
貴方の式で、=0 の一行前に出てくる ln は、複素対数関数です。
複素対数は、ln z = ∫[u=1からzまで](1/u)du で定義される関数ですが、
この右辺の積分は、u が 1 から z まで移動する経路に依存し、
z の値だけでは、値がひとつに決まりません。
ひとつの z に対して ln z が取りえる値は、
(ある複素数)+(2πi)(任意の整数) という形をしています。
式中ふたつの ln に、この不定部分がついてくるために、
最終行は、=0 ではなく、=0+(2πi)(ある整数) となるのです。
貴方の計算は、勝手に (ある整数)=0 としてしまっていますが、
(ある整数)=1 が正解だったという訳です。
なるほど!
lnZという複素関数にはどうあがいてもZにどんな値を入れても2πiNという
不定の数が入ってしまうのにそれを無視していたからおかしくなっていたんですね。
よくわかりました。
ありがとうございました。
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