cosθやsinθの入った微分 （極座標）

今微分積分の練習をしてるんですがこの問題でつまづきました。
u=rcosθ, v=rsinθ　　の式から
du・dv=rdr・dθ　が導き出されると書いてあったんですが解説を読んでも良く分かりませんでした。
どうしてこうなるかをお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： KENZOU 回答日時： 2003/12/09 14:49

u=rcosθ, v=rsinθの式の全微分をとると

du＝(∂u/∂r)dr＋(∂u/∂θ)dθ
　＝cosθdr－rsinθdθ　　　(1)
dv＝(∂v/∂r)dr＋(∂v/∂θ)dθ
　　＝sinθdr＋rcosθdθ　　　(2)
そこで
dudv＝(cosθdr－rsinθdθ)(sinθdr＋rcosθdθ)
　　＝r(cos^2θ－sin^2θ)drdθ
　　　＋cosθsinθ(dr)^2－r^2sinθcosθ(dθ)^2
　　≒r(2cos^2θ－1)drdθ　　(3)
ここでdr^2、dθ^2の2次の微小量はカットしました。ところでdu・dvはuv空間での微小面積ですからこれをrθ空間（極座標）に写像した面積(3)も微小面積ですね。すると2辺を挟む角θは微小ですからcosθ≒1と近似することができます。これを(3)に入れると
du・dv≒rdrdθ　(4)
と近似することができ、ご質問の式がでてきます。上の近似の具体的なイメージは＃２のsiegmuntさんが書かれているとおりです。尚、上のようにuv空間の微小面積をrθ空間（極座標）に写像した微小面積への換算係数は＃１のRossanaさんの言われているヤコビアンとなり、この簡単な説明はこのサイトの
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=633126
に載っていますので参照してください。参考URLはヤコビアンの詳しい説明がのっています。

参考URL：http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/2-va …

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2003/12/09 12:57

du dv の意味は，

u 座標が u～u+du, v 座標が v～v+dv で囲まれる部分の面積が
du dv であるという意味です．
直角座標ですから，問題の部分は du と dv の長方形で，面積 du dv は当然でしょう．

では，極座標では？
r が r～r+dr，θがθ+dθの部分の面積は下図の＊の部分です(固定幅フォントで見てください)．
∠AOC = dθ，OA = r，AB = dr です．
BD と AC は直線(弦)になっていますが，円弧だと思ってください．
もちろん，dθと dr は微小な量です．
図の都合で dθ が π/2 になってしまっていますが．


　　　Ｄ＼───────────／Ｂ
　　　　　＼＊＊＊＊＊＊＊＊＊／
　　　　　Ｃ＼───────／Ａ
　　　　　　　＼　　　　　／　
　　　　　　　　＼　　　／　　
　　　　　　　　　＼　／θ　　　
　　　　　　　　　　Ｏ───────────
　　　　　　　　　　　

では，＊部分の面積は？

【考え方Ａ】
弧ACの長さは r dθですから，r dθ と dr の長方形と思って，
面積は r dr dθ．
本当は長方形ではないが，違いは微少量の高次のはず．

【考え方Ｂ】
扇型 OBD の面積は π(r+dr)^2 (dθ/2π)，扇型 OAC の面積は πr^2 (dθ/2π)，
したがって，＊部分の面積は r dr dθ + (微少量の３次) だから，
高次の微少量を無視して r dr dθ でよい．

おすすめは【Ａ】です．
【Ｂ】の方が厳密なような気がしますが，
扇型の面積が既知だからこういうことができるのであって，
一般にはこの類の手続きは実行不可能なことが多いです．
微少量の高次を省略して最低次の寄与だけ取り出すというのは微積の基本ですので，
ぜひ【Ａ】の考え方をマスターされるようにおすすめします．

No.1 回答者： Rossana 回答日時： 2003/12/09 02:04

数学的にはヤコビアンというものによって変換されるのですが，VISUAL的に簡単に述べれば直交直線座標のu-vグラフにおけるdudvというのは微小面積ですね．

一方，直交曲線座標なる極座標系での微小面積はr方向の長さ：drとθ方向の長さ：rdθを掛けたものですね．
この考え方は３次元の体積要素でも通じます．

参考URL：http://www5.plala.or.jp/h-fuchi/math/math1.htm