数学

Ｘ=√3+√5 Y=√3-√5のとき、次の式の値を求めよ

(1)Ｘ+Ｙ

(2)ＸＹ

(3)Ｘ2乗＋Ｙ2乗

(4)Ｘ3乗＋Ｙ3乗


√5の整数の部分をa、小数の部分をbとする

(1)aとbを求めよ

(2)a/b(bぶんのa)の整数の部分を求めよ


途中過程もお願いします。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/23 21:14

前半

(1)
Ｘ+Ｙ=(√3+√5)+(√3-√5)=2√3

(2)
ＸＹ=(√3+√5)(√3-√5)=3-5=-2

(3)
Ｘ^2＋Ｙ^2=(X+Y)^2-2XY ←(1),(2)を代入
=(2√3)^2-2(-2)=12+4=16

(4)
Ｘ^3＋Ｙ^3
=(X+Y)(X^2+Y^2)-XY(X+Y) ←(1),(2),(3)を代入
=(2√3)*16-(-2)2√3
=32√3+4√3=36√3

後半
(1)
4<5<9
平方根を取ると
√4=2<√5<√9=3
√5の整数の部分a=2,
小数の部分b=√5-2

(2)
a/b=2/(√5-2)
=2(√5+2)/{(√5-2)(√5+2)}
=(2√5+4)/(5-4)
=(2√5+4)
√16=4<2√5=√20<√25=5
8<a/b=(2√5+4)<9
∴a/bの整数の部分=8

No.3 回答者： bibendumbibendum 回答日時： 2012/01/23 21:10

二番目の問題はこのほうがエレガントかな？

√5＝２＋b　　ただし０＜b＜１
両辺を自乗すると
５＝４＋４b＋b＾２

式を整理すると
１＝４b＋b＾２

bは０でないので両辺をbで割ると
１／b＝４＋b

０＜b＜１なので
１／bの整数部分は４

したがってａ／ｂの整数部分は８

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/01/23 20:53

（１）　さすがにこれはご自分で。

（２）　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ＾２－ｂ＾２
　　　　ａ＝√３、ｂ＝√５　とすれば・・・？
（３）　Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝（Ｘ＋Ｙ）＾２－２ＸＹ
（４）　Ｘ＾３＋Ｙ＾３＝（Ｘ＋Ｙ）（Ｘ＾２－ＸＹ＋Ｙ＾２）
　　　　　　　　　　　＝（Ｘ＋Ｙ）（（Ｘ＋Ｙ）＾２－３ＸＹ）

√４＜√５＜√９　なので、２＜√５＜３　です。従ってａ＝２、ｂ＝√５－２　です。

ａ／ｂ＝２／（√５－２）＝２（√５＋２）／（√５－２）（√５＋２）
　　　　　　　　　　　　＝２（√５＋２）／（５－４）
　　　　　　　　　　　　＝２（√５＋２）
ここで２．５＾２＞５なので、√５＜２．５です。従って
２（√５＋２）の整数部分は２＊（２＋２）＝８　です。

No.1 回答者： ulti-star 回答日時： 2012/01/23 20:49

Ｘ=√3+√5 Y=√3-√5のとき、次の式の値を求めよ

(1)Ｘ+Ｙ
=√3+√5+√3-√5=2√3
(2)ＸＹ
=(√3+√5)(√3-√5)=3-5=-2
(3)Ｘ2乗＋Ｙ2乗
=(√3+√5)^2+(√3-√5)^2=3+2√15+5+3-2√15+5=16
(4)Ｘ3乗＋Ｙ3乗
=(√3+√5)^3+(√3-√5)^3
=3√3+3・3√5+3・5√3+5√5+3√3-3・3√5+3・5√3-5√5
=6√3+30√3=36√3

√5の整数の部分をa、小数の部分をbとする

(1)aとbを求めよ
√4＜√5＜√9より
a=2
b=√5-√4=√5-2

(2)a/b(bぶんのa)の整数の部分を求めよ

2/(√5-√4)

　2(√5+√4)
=―――――――――
　(√5-√4)(√5+√4)

=(2√5-2√4)/(5-4)
=2√5-2√4
=2√5-4
√4＜√5＜√9より
0≦答え≦2
正確には0になります

暗算でやったので、間違っているかもしれません、検算してみて下さい。