回転系の運動方程式について

回転系の運動方程式の立て方がよくわかりません…
慣性モーメント×角加速度＝モーメント　ですよね？

例えば、滑車（慣性モーメントI,半径R）があって、その上端にバネが水平方向についていて右端には重りがつりさげている場合の滑車の運動方程式を考えようとすると、
教科書の答えは
（I＋mR^2)θ''＝-kR^2θ
となっています。
けれど、重りもモーメントを与えているのだから右辺にmgRが必要なんじゃないかと思うのですが…
なぜダメなんでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/02/03 17:32

重りにかかる重力分は右辺にすでに織り込み済みなのです。

ばねが自然長である時のθの値を"0"であるとしましょう。
すると運動方程式は
(I+mR^2)θ"=-kR^2*θ*mgR
となります。

ばねの張力と重力が釣り合う点でのθの値を求めこれをθoとしましょう。
kRθo=mg
ここでθを釣り合いの位置で"0"になるようにずらしてみましょう。
つまり
φ=θ-θo
とおきましょう。
すると
θ=φ+θo
であり、
θ"=φ" (θoは定数ですので時間で微分すると"0"です)
ですので元の運動方程式に代入すると
(I+mgR^2)φ"=-kR^2*(φ+θo)+mgR=-kR^2*φ-kR^2*θo+mgR=-kR^2*φ+R(-kRθo+mg)=-kR^2*φ+R(-mg+mg)=-kR^2*φ
となります。

教科書にある運動方程式はこのφを改めてθとおきなおした式であり、これは釣り合いの位置でθ=0となるようにとった角度を使った場合の運動方程式なのです。。

このような操作は単純にばねに重りをつるしただけの単振動の方程式でもよく使います。

この回答へのお礼

詳しく解説していただき、ありがとうございます！

お礼日時：2012/02/04 04:25