グラフの平行移動の説明

Question

高校数学からの質問です。

y=xのグラフにおいて、x軸正方向にpだけ平行移動すると、y=x-pとなり、ｙ軸正方向にpだけ平行移動するとy=x+pになります。一次関数に限らず二次関数でも、平行移動において、x軸方向だと-p、y軸方向だと+pという操作をすると思います。

しかし、グラフを見てわかっても、なぜ平行移動において、x軸方向だと-p、y軸方向だと+pになるのか理屈がわかりません。

宜しくお願いします。

artist_ · Accepted Answer

もともとのグラフのｘをｘ'（旧）として考えてみましょう。

ｐだけ正に移動したならば、あたらしいｘ（新）はどうなるでしょうか？

x'にｐだけたしたものがｘになるはずですから、

x'+p=xとなりますね。

つまり、x'=x-p

これはどういうことでしょうか。

言葉で書くと、

古いx'（旧）にx-pを入れれば、もとのx'からｐだけ正に移動した関数ができますよ～

ということを言っているのです。

yについても同じです。

分からないことがあれば、また質問してくださいね。

alice_44 · Answer

同じじゃないよ。
A No.6 は、考え方を示しているのではなく、
考えずに計算しろと言っている。そこが肝。
下手の考え休むに似たり。

ddtddtddt · Answer

みなさんと言ってる事は同じです。

まずx，y方向にp，q平行移動するとしたとき、

y＝f(x－p)＋q

と書くのではなく、

y－q＝f(x－p)　　　　(1)

と書けば、xもyも扱いは平等ですよね？。

次に、

(y＋q)－q＝f((x＋p)－p)

を考えると、

y＝f(x)　　　　　　　　(2)

に戻るので、(1)は、(2)の(x，y)より(p，q)だけ大きい点を通るのねと、自分は納得しました。

関数の拡大／縮小も同様な考えで・・・。

hugen · Answer

y=xのグラフにおいて、x軸正方向にpだけ平行移動すると、y=x-pとなり、
x=yのグラフにおいて、ｙ軸正方向にpだけ平行移動するとx=y-pになります。

alice_44 · Answer

算数的に「理屈」で考えると、全体像が見えにくいかもしれません。
計算してしまえば、状況が明確になります。
移動前と移動後の式に同じ文字 x,y を使うと混乱しますから、
それぞれの曲線上の点を異なる文字で置きましょう。

y=f(x) 上の点 (s,t) を
x 方向に +p, y 方向に +q 移動した点が (u,v) だとすると、
t=f(s),
u=s+p, v=t+q
という関係です。ここから s,t を消去すると、
v=f(u-p)+q
になりますね。
(u,v) が xy 平面上に描く軌跡は、u,v を x,y に書き換えて
y=f(x-p)+q
です。

nananotanu · Answer

>正方向に移動するのに-pとなる理屈

絵に描きゃ解るじゃん。

正方向に移動した＞元の値より、ｐだけ大きくなって、ｘ＋ｐになった[これを仮に新たな変数X、としましょう]＞元の式(変数)に戻すには、新たなXに対し、ｐ小さい　X-p　を代入しなおせば、それはｘ

移動した後の、新たな変数を、元の変数で書き直しているだけ。

あなたは、毎月、１００円お小遣いをもらうとします。今月のお小遣いをもらう直前に、財産がx円だったとすると、お小遣いをもらったらx+100円になります。　今もってる値から100円引けば、元の所持金、ｘが出ます。
　という話の中で、x+１００という変数を、『同じ文字で』新たにxとしているから混乱しているだけ。

+pだけ平行移動したなら、-pだけ平行移動すれば『元の位置』に戻るでしょ？　『元の方程式』が成り立つためには、元に戻して代入しなくっちゃ

151A48 · Answer

「一般にy=f(x)　の関数は，例えばx=aでf(a)という値をとりますが，右にp( >0) 平行移動とは，x=a+pでf(a)という値をとらないといけませんね。それでy=f(x-p)とします。x=a+pでf(a)ですから。」
というような説明ではだめかしら。？

nananotanu · Answer

あなたの書き方で言うなら

（ｙ－ｐ）＝ｘ

になるのを、単に移項して　ｙ＝　の式にしているだけです。

Tacosan · Answer

y=x のグラフを移動するときに, 「ｙ軸正方向にpだけ平行移動」を「y=x+p」と書いちゃうからいけない. これは
y-p = x
と書くべきだ.

グラフの平行移動の説明

同じじゃないよ。

みなさんと言ってる事は同じです。

y=xのグラフにおいて、x軸正方向にpだけ平行移動すると、y=x-pとなり、

算数的に「理屈」で考えると、全体像が見えにくいかもしれません。

もともとのグラフのｘをｘ'（旧）として考えてみましょう。

>正方向に移動するのに-pとなる理屈

「一般にy=f(x) の関数は，例えばx=aでf(a)という値をとりますが，右にp( >0) 平行移動とは，x=a+pでf(a)という値をとらないといけませんね。

あなたの書き方で言うなら

y=x のグラフを移動するときに, 「ｙ軸正方向にpだけ平行移動」を「y=x+p」と書いちゃうからいけない. これは

この回答への補足

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　みなさんと言ってる事は同じです。

「一般にy=f(x)　の関数は，例えばx=aでf(a)という値をとりますが，右にp( >0) 平行移動とは，x=a+pでf(a)という値をとらないといけませんね。