σ－加法族の公理に対する期待とは？

こんにちは。早速ですが、ルベーグ積分を勉強しています。
そこで可測集合を定義するために、σ－加法族の公理を考えていますが（加算和で閉じる、補集合で閉じるなど）
そもそも、これは何を狙ってこの公理を考えているのでしょうか。

この公理から、ボレル集合など理論が展開されていくのは分かるのですが、いまいち狙いが掴めません。直感的に"面積がみたすべき性質"を期待しているということでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/02/12 16:54

＞可測空間、σ－加法族を考えるときに可算和で閉じることを求める理由が今ひとつしっくりきていません。

実は私としては
有限和でとめることの方がしっくりしません．
これはベースとして何をもってるかとかで変わるのかな

こういうのは，やっぱり
ちょっと先にいって振り返るのがいいと思います．
証明をそれなりに追いかけてみれば
何か見えると思います．
数学って定義そのものが天下り式で
ある程度さきにいかないと定義の意味が分からないってのは
ざらですから．

この回答へのお礼

加えてのご回答ありがとうございます。
そうですね、先に進んでみると何の疑問もなく納得できるかもしれませんし、今は着実に本を読んで行こうと思います。
おつきあい頂いてありがとうございました。

お礼日時：2012/02/12 17:27

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/02/12 01:00

>しかし、有限和でなく可算和を要請している事がすんなりとなじむ例などはありますでしょうか。

んーーと・・例えば測度として
counting measure（Wikipediaによると「数え上げ測度」というらしい）を
採用すると級数の和ってのが積分になるんだけど
これは可算和を要請しないとできないんです
Wikipediaの「数え上げ測度」の項目にざっくり書いてあります．

他にも確率に絡めると無限和にしたほうが
確率の列とかを相手にできるし
無限和は有限和を含むから都合がいいのです．


>あと面積の話に戻ると、積分をある値域Aに対応する引き戻しf^-1(A)を"測る"ことができたら
>積分が定義できる、ということで
>可測関数、可測集合という概念を取り入れたのかな、と解釈しているのですが如何でしょうか。

あー，これを承知してるんですね．
そー，リーマン積分は「縦割り」なんだけど
ルベーグ積分は「横割り」なんですよね．
実際はルベーグとかがどう考えたかは分からないけど
積分ができるように逆に集合や関数のほうを規定したというほうが
しっくりくるというのは同意です
そうしても十分にたくさんの関数や集合が得られるんですよね


>外測度などについても多少見ましたが、一般の公理から理論を作って行くアプローチで理解したいと思っています。

すでにみてるかもしれませんが
コルモゴロフの本「確率論の基礎概念」が2010年にちくまから文庫ででてます
確率論の本ですが
測度論の公理を構築した原典に近い（提唱者本人の書籍）はずので
参考になるかもしれません（やさしい本ではないですが・・・）
＃私のころは東京図書から薄めのハードカバーで出てた

あとは公理論的ではないけど
伊藤清三先生の裳華房のあの本とか
溝畑茂先生の岩波全書の本とかが名著ですね．

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
ルベーグ積分論自体はフビニの定理ぐらいまでは大雑把に（証明とかを咀嚼せずに）学んだのですが、
確率論をやるにあたって測度の辺りがなおざりだといけないと考えて再勉強しています。

測度について、加算加法性を要求することが尤もらしい事は何となく分かりましたが、
可測空間、σ－加法族を考えるときに可算和で閉じることを求める理由が今ひとつしっくりきていません。
位相空間である時点で開集合は可算和で閉じているので、それを課さないと十分な理論が期待できないというか、
可算和で閉じる事を課しても通常に求積や確率を定義する程度の十分多くの集合を含む、という見通しから、と考えても良いのでしょうか。
もしかしたら的外れの事を言っているかもしれませんが、よろしければご回答をよろしくお願いします。

お礼日時：2012/02/12 14:56

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/02/11 23:12

そういうときは

ちょっと我慢して先に進むのが効率的なんですよ．
まあ・・・そうはいってみても・・・

＞直感的に"面積がみたすべき性質"を期待しているということでしょうか。

ちょっとだけ違うかなー．σ加法族は
「確率が定義できる集合」（集合というか事象というか）
というほうが直観的かな

・空集合をなす事象には確率が定められる
・事象Aに対して確率が定められるなら，その補事象にも定められる
・確率が定められる事象の族に対して，その和事象にも定められる

三つ目はまさに確率の和の式に直結するわけですが
有限和じゃなく無限和を要請しているところが大事．
＃コルモゴロフの確率の公理に直結してるわけです

まあ「確率」＝「面積」＝「積分」って感じでもいいんだけど
たぶん「確率」が一番直観的にかみ合うと思う

この回答へのお礼

確かに確率として考えたら補集合で閉じるというのは直感にも合っていますね。
しかし、有限和でなく可算和を要請している事がすんなりとなじむ例などはありますでしょうか。

あと面積の話に戻ると、積分をある値域Aに対応する引き戻しf^-1(A)を"測る"ことができたら積分が定義できる、ということで
可測関数、可測集合という概念を取り入れたのかな、と解釈しているのですが如何でしょうか。

外測度などについても多少見ましたが、一般の公理から理論を作って行くアプローチで理解したいと思っています。

お礼日時：2012/02/11 23:41