ゼロより大きい最小の数

Question

ここでも出ていた「１＝０．９９９・・・か？」と言う問題で数学の好きな人（数学の知識のある人かどうかは不明。ただし物理には詳しい。）と話をしていた時に出てきた話題なのですが・・・。

その人の言うには、
「ゼロより大きい最小の数は存在する。それは　０．００・・（０が無限個続く）・・０１　である。」
とのことでした。

以下、禅問答のような質疑。
「無限個のゼロの列で、最後のゼロが存在することができますか？」
「最初のゼロが存在しているのだから『最後のゼロは存在しない』と決めつけることはできない。」

「それならゼロの数は数えられるのではないのですか？」
「両端が存在することと、数えられるかどうかは別問題。」

「最後の１は桁数の概念がわからないのですが・・。」
「最後の１を『何桁め』と定義することはもちろんできない。言えるのは無限個のゼロとの順序関係だけ。しかしそれがわかれば数としては機能する。」

「そもそも『数』として認められるのですか？」
「この数自身は実数の定義から外れると思うが、あらゆる実数と大小関係を比較することはできる。言いかえると数直線上で自らの存在場所を主張することができる。」

「それって、実数が連続であることと矛盾するのではないですか？」
「実数の連続性は単なる公理であって証明されたものではない。」

そう言われて眺めていると、確かに、ゼロより大きい最小の数のように思えてきました。
このような数は本当に存在を認められるのでしょうか？
また、知人の主張に数学的な誤りがあるのでしょうか？
ぜひ数学に詳しい方々からの御意見をよろしくお願いいたします・

sub_6 · Accepted Answer

あなたの言うとおり、
実数の連続性に矛盾するので、ゼロより大きい最小の数は実数ではありません。

実数の数学的な構成は、有理数のコーシー列に等しさを導入するという形で定義されます。その定義より、0.9999999............... = １です。

したがって、0.000............(無限個)...........01 という数は実数では定義されません。
(有理数のコーシー列でかけないから)

しかし、実数より大きいクラスの定義があって(超準解析 で調べてください)
「ゼロより大きいが、任意のゼロより大きい実数よりは小さい」数が出てくることがあります。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0

Tacosan · Answer

「完全に順番が付けられる」ってどういう意味だろう.

「『小さい方から何番目か』が完全にわかる」という意味だったら「じゃあ x = 2/(13π) は何番目?」って聞けば終わりだし, 「『大小の順番』が付く」なら「で?」で終わり.

noname#171582 · Answer

”ゼロより大きい最小の数”＝1/∞

WiredLogic · Answer

#4です。

＞知人の話では、「最初と最後が存在して、途中も完全に順番が付けられる値の列で、
＞値の個数が無限大となる例がある。」そうです。
＞その例
＞-2/3π≦ｘ≦2/π　の範囲で、関数ｙ=sin(1/ｘ)とｙ=1の交点の数を数えることを考
＞ｘの小さい方からいくと、最初の交点は明らかにｘ=-2/3π。最後の交点は明らかに
＞途中の交点は、ｘの小さい方から順番が付けられる。
＞この交点の数は無限に存在する。

なるほど、こういう例を持ってこられるということは、
お友達は、いよいよ、質問者さんをおちょくろうとしている確信犯^^か、
でなくて、本気で信じているのなら、とんでもなく賢い、とんでもない
おバカ、ですね^^

#2&#5さんが、ツッコんでらっしゃいますが、

「最初と最後が存在して、途中も完全に順番が付けられる値の列で、値の個数が無限大となる例」なら、そんなに面倒な話を持ってこなくても、

もっと、ストレートに、自分の示したいことそのままに、

まず「0.1」という数を考える。(0.1)
次に、小数点の後に「0」を入れる。(0.01)
さらに、小数点の後に「0」を入れる。(0.001)

これを続けても、最初の数字はゼロ、途中の数字もゼロ、
最後の数字は１、これは変わらないよね？

なら、小数点の後に「0」を入れる、という操作を
限りなくくり返すと、最初の数字がゼロ、途中の数字も
全部ゼロ、これが無限に続いて、最後の数字は１、
という数を作ることができるよね、
これは、0より大きいだろ？

と言えばすむことです。

ただ、こういう解りやすい例だと、小学生みたいに、

「うん、確かに、最後の１の在り処を見つけられたら、
その通りだよね。でも、その１って、どこにあるの、
どこにあるか教えてくれたら、納得するんだけどなぁ」

と、質問されると、困るから、そういう簡単なツッコミが
でないように、相手が苦手で面倒かつ複雑な例を挙げる、
そういうことのように見えます。

自分の考えていることがハッキリ理解できていて、
説明できる能力があるなら、もう少し複雑だとしても、
「0以上1以下の有理数」とか「0以上1以下の実数」とか
を例に出して、解りやすく説明できるはずなので、

(お友達に好意的？^^に考えると)ペテン、
ひっかけて遊ぼうとしているのか、

ちゃんとした筋道の勉強をしたこともなく、
よく理解できてないことを話しているか
(そして、ずっと「イタい」ままでなかったら、
歳をとって、タマ～に思い出して、叫びたくなったり、
赤面したりする^^。まぁ、誰にもそういうことの
一つや二つ、百や二百^^はあるものなので、
だから、悪いという話訳じゃありませんが^^)

質問者さん用の回答をすると、
本当にこの手のことに興味が湧いたのであれば、
一般向けの解説書も色々ありますから、
そういうものを読んでみてから、考えてみるのがいいと思いますが、

質問者さんの、数学の知識レベルを問わず、
必ず、役に立つ「最初の一歩」用の本として、

冬幻舎文庫「はじめまして数学」吉田武著(全３巻)
の第１巻「自然数を追え、無限を掴まえろ! 」を
お勧めいたします。

メインターゲットは小学校上級生～中学生くらいの本で、
公共図書館の児童書コーナーには、必ずと言っていいほどある本ですし、
高校生や大学生で、数学もいくらかは必要な場合だと、
全３巻通して読むと、自分で、勉強してきた、
これから勉強する数学の意味、というのが、
よ～く理解できると思います。

これを読んだ上で、数学書コーナーで立ち読みすれば、
次にはこれを読んだらよさそうだな、というのが、
ある程度解るようになっているはずです。

cozycube1 · Answer

P.S.

lim[x→0]f(x)のような、極限値を考えるときの説明のほうがいいかも知れませんね。

たとえば、xを0に近づけたときの、f(x)を考えるとき、正の値のxを0に近づけていくとき、x→＋0と書き、負の値のxを0に近づけるなら、0→－0と書きます。

＋0か－0で、f(x)の極限値が違うことがあります。

＋0はどんな小さい有限の正数より小さく、－0はどんな小さい有限の負数より小さいわけです。でも、0にはしてしまえない。

こういうところにも、無限小がちらっと出てきたりします。

cozycube1 · Answer

まあ、考え方自体がへんてこなんですけど、多用するものについての、便宜的な説明でしょう。

0より大きいけど、どんな有限の数より小さい数ということで、名前としては無限小と呼ぶこともあるようです。

なんのことはない、微分ですね。

たとえば、位置をx、時間がtとして、x/tを考えて、少しだけ変化するのをΔ（デルタ）とつけて、Δx/Δtと書きます。

その変化Δを極限まで0に近づけたのが、dx/dtといったようなことです。このdx/dtが、時々刻々の速度vということです。

このvで、∫vdtを計算して走行距離を出すように、積分でも使われます。

また、全微分などでも、dxやdtが、微分のように分数のような形でなく、積分のように単独で現れます。

こうしたdxやdtが、位置や時間の無限小の変化です。

dx/dtと戻して、幾何学的には、x軸とt軸に描いたグラフの、いろいろな位置での接線だったりしますね。

tmpname · Answer

これは、別に「0.0000（無限個）1」という『表記』（が可能かどうかはともかく）が問題なのではなく、又「実数の範囲を越えて議論すればよいのでは？」という問題でもありません。

別に「ゼロより大きい最小の数」というのをどう表記しても、どの世界で考えても構いません（超実数体でも構わない）が、それでも「ゼロより大きい最小の数」は（順序体を考えている限り）その世界で存在しないのです。理由はANo.2で書いた通り。

そもそも順序体を考えていないのなら知りません。

uuu-chan · Answer

０より大きい最小の実数なんて存在しません。笑

「最初のゼロが存在しているのだから『最後のゼロは存在しない』と決めつけることはできない」
もうこの時点で答えになってません。笑

実数ではない新しい数を定義したところでその数は実数ではないのだから実数と大小比較なんてできない。
そもそも「０．００・・（０が無限個続く）・・０１」が定義できません。笑
０が無限に続いた時点でその数は０です。

tmpname · Answer

最初の質問とは少し離れたことになってしまいますが

> 「途中の交点は、ｘの小さい方から順番が付けられる。」
この方法ではつけられません

WiredLogic · Answer

とりあえず、３つの可能性が考えられます。

1. その友達は、本当は、解っているのに、意地悪く、質問者さんを
　ひっかようとしているだけの場合。

その手の人がよくやりたがる遊びなので、悪く思わないでやってください^^

2. 「～信者」(～には質問者さんがこれだと思うものを代入のこと^^)
　のように、自分の信念または無知に固執し、どんな説得も受け入れる
　つもりがない、というか、できなくなっている場合。
　(それだと、正直、どこまで物理に詳しいものか、不安になりますが^^)

昔から「非学者、論に負けず」と評される人たちなので、
　そういう地雷を踏まないように、お付き合いしましょう。

3. 単に知的トラップにひっかかっているだけだが、
　ずっと前に進めないと「イタい人」になってしまう人の場合。
　
　「物理に詳しい」のが、単に「ウンチク」をためているだけ、
　というのでなければ、ちゃんと勉強を進めるよう、勧めて
　みましょう。その上で、ちゃんと話を聞かせてね、ということで、
　それを、イヤだ、という人は、本当は、物理に詳しい訳じゃなく、
　ただの「イタい」人の可能性が高いです。

例えば、実は、私もそうなのですが、数学のεδ論法などは、
　だまされた感じがして、嫌いだ、認めたくない、という人には、
　それ向きのアプローチもあります。Wisconsin大学のKeisler
　教授が、ライプニッツが考えたような「無限小」0より大きく、
　いかなる正の実数よりも小さい「数」を含む、「超実数」という
　集合を、現代数学の手法を使って構築し、ライプニッツの穴を
　埋めた形の微積分の教科書と、その理論的裏付けを含む教師用
　ガイドを書いていて、Keisler教授のホームページから、
　ダウンロードして読むことができます。
　http://www.math.wisc.edu/~keisler/ の
　Free Online Calculus Book (PDF files), updated December 2010 
　Foundations of Infinitesimal Calculus (2007) 
　がそれです。お友達に教えてあげてみてはどうでしょう。

お友達云々は別として、質問者さん向きに回答すると、

＞「無限個のゼロの列で、最後のゼロが存在することができますか？」
＞「最初のゼロが存在しているのだから『最後のゼロは存在しない』と決めつけることはできない。」

これは、質問者さんの考え通りで、
そもそも、決めつけるも何も、
最後のゼロが存在したら、限りが有る、
つまり、文字通り有限になります。

ここで、小学生の漢字テストレベルで、
お友達の論理は破綻しています。

ここを否定して、いくら考えても、
それは、無限についての考察には
なるはずがありません。

というより、存在しないと、決めつけられないから、
「最後のゼロが存在する」と仮定する、
すると、お友達のいう、馬鹿げた話になってしまうから、
「最後のゼロが存在する」と仮定したことが間違い、
したがって、「最後のゼロは存在しない」
という、背理法の練習問題みたいな話になってしまい、

1のパターン、質問者さんを煙に巻こうとしているのだ
としても、もう少し上手にやれないもんかなぁ、と言い
たくなるような話です。

物理に詳しいのであれば、例えば、超ひもの長さより
短い長さは意味を持たないから、自然が、数学でいう
連続な実数で構成されているというのは誤りで、…
なんていう奴とか。

ゼロより大きい最小の数

あなたの言うとおり、

「完全に順番が付けられる」ってどういう意味だろう.