ベルトコンベア上の二つの物体に関する物理の問題

Question

いつも勉強させてもらっております。
とてもシンプルな問題なのですが、気になることがあり質問させて頂きます。

動摩擦力がかかっている二つの物体の加速度、および二つの物体が互いに及ぼす力
を求めるという問題について、動摩擦力ではなく静止摩擦力を考えるとどうなるのかという
疑問です。ヒントなど頂ければと思います。宜しくお願いします。

添付の図をご覧下さい。
右に動いているベルトの上に大小質量が異なる物体が置かれております。
もともとの問題では、物体はスリップをしていて（つまり静止摩擦力ではなく、動摩擦力が働いています）、動摩擦係数がAついて0.2, Bについて0.1と与えられております。二つの物体は接触していますので
AにはBから力を受けており、逆にBはAから力を受けていることになります。すると、
それぞれの物体について、運動方程式を立てると、
(A)　ma = Fa - F
(B) Ma = Fb + F
二つの未知数（F, a)で二つの方程式なので、未知数は求まることになります。

ここまでは良いのですが、もし、物体がスリップをしていない場合、どうなるのかを考えたいのですが、
どうにもできず、求まるのかどうかも分からずにおります。といいますのは、スリップが起きた場合、
ベルトの加速度がどうであろうと、動摩擦力は一定です。しかし、スリップが起きていない場合、静止摩擦力が両物体にかかりますが、静止摩擦力は状況に応じて変わります。例えば、ベルト上に物体が一つしかない場合、
質量ｘ加速度A（ベルトのでもあり、物体の加速度でもある） = 静止摩擦力
ですので、加速度にA応じて静止摩擦力が決まります。加速度Aが上がれば、静止摩擦力が上がります。ただし、最大は、静止摩擦力係数 x 垂直抗力（重力）であり、それ以上加速度Aが上がると、
スリップが始まり、摩擦力は動摩擦力（加速度に依らず一定）に変わります。

しかし、二つの物体があると、物体間の力を考えなければなりません。
上記のように運動方程式を立てると、
(A) mA = Fa -F
(B) MA = Fb +F
ここで、Aは既知（ベルト、両物体の共通の加速度）ですが、
未知数はFa, Fb, そしてFの三つで、方程式は二つしかありません。
二つの物体は同じ加速度で動いているので両物体にかかる力 Fはゼロと考えてしまいそうで、
実際そうなのかも知れません。ただ、それを証明するにはどうしたらよいかと思っております。
情報としてはあくまで、両物体の加速度が同じというだけで、二つの物体間には力が働いて
いないと結論付けるのはどうかと思いました。といいますのも、
添付の下図では、両物体は加速度が同じでありますが、もちろん両物体に力fがかかっています。

私の理解では、上図の状況（二つの物体がベルト上にあり、スリップしていない）では摩擦力および両物体間の力を求めることはできない（？）、となりましたが、いかがでしょうか。
もしくは、このような状況において、もう一つ方程式を立てることができるのではとも思っております。

長くなってしまいまして、文章が分かりにくくなっているかも知れません。
もし伝わり辛い点が御座いましたら、書き直しますゆえ、どうか宜しくお願いします。

WiredLogic · Accepted Answer

なるほど、面白い問題を考えましたね^^

結論を書けば、その設定だけでは、
A,B間に力が働くかどうかは、解らない、
が正解になるかと思います。

これは、まるで解らないということではありません。

Aとベルトの間の、静止摩擦係数をμ1, 動摩擦係数をμ1'、
Bとベルトの間の、静止摩擦係数をμ2, 動摩擦係数をμ2' とします。

1. A,Bどちらも、ベルトとの間に働く静止摩擦力で、
　左に引っ張られ、どちらも、加速度aで加速している場合、

この場合は、A,Bを離れた場所に置いても、それぞれが、
加速度aで動く訳ですから、互いに働く力は0になります。

この場合、A,Bを加速させる力は、静止摩擦力で、
これは最大静止摩擦力以下、ma≦mg*μ1、Ma≦Mg*μ2 ですから、

a≦g*μ1、かつ、a≦g*μ2 のとき、F=0、ということになります。

2. Bは、実はスリップしているのだが、スリップしないAに
　押されて、加速度aで動いている場合、
　(Bはスリップせず、Aがスリップしていたら、A,Bは離れて
　いくので、力は働かない、というか、くっついて動くことに
　なりません)

この場合は、AがFの力でBを押す(-Fの力でBに押される)とすると、

Aは、静止摩擦力 - Fの力で、加速度aの運動をするので、
ma≦mg*μ1 - F、
Bは、スリップしている、つまり、Bを加速度aで運動させるには、
最大静止摩擦力以上の力が必要なので、
Ma＞Mg*μ2、
Bは、Aによって、Fの力で押され、動摩擦力でブレーキがかかった結果、加速度aで運動しているので、
Ma = F - Mg*μ2'、
という、３つの運動方程式・不等式が成り立ちます。

F = Ma + Mg*μ2' を、最初の不等式に代入すると、
ma≦mg*μ1 - Ma - Mg*μ2' となり、
(M+m)a≦mg*μ1-Mg*μ2' ですから、

よって、この場合、
g*μ2＜a≦(mg*μ1-Mg*μ2')/(M+m) という条件がなりたっている必要があり、
そのとき、F = Ma + Mg*μ2'が成り立つことが解ります。

rnakamra · Answer

これはFの大きさに伴い静止摩擦力が変化する、ということ。

例えば、Aに電磁石を内蔵しBの材質が鉄だとします。Aの電磁石の強さを変えていくとFの大きさはそれに伴い変化します。それでもA,Bはベルトと連動して動くとするとそれぞれの摩擦力がFにともない変化してしまうということです。

Fの決定はかなり難しいのではないでしょうか。

htms42 · Answer

同じような事情にあると思われる場面があります。

水平な床と、床に垂直な壁とがあります。
床と壁に接触して棒が立てかけてあります。床と棒との間には摩擦があります。

普通は床だけに摩擦があるとしています。
静止摩擦力はいくらか、滑り出す限界の角度はいくらかを問う問題になっています。
棒の代わりに梯子になっている時もあります。人が梯子をのぼることができる条件を求める問題になっている場合もあります。（これは高校の物理の教科書にもたいてい載っている問題です。）

この問題で棒と壁との間にもまさつがあるとすると解けなくなります。

ときどきこの問題を両方が同時に滑りだすとして解いているのを見かけます。でも一般的には成り立たないことのはずです。同時に静止最大摩擦力になるということは一般的には起こらないことです。
棒が変形するとすると成り立つことかもしれませんが私にはまだ解けていません。

ベルトコンベア上の二つの物体に関する物理の問題

なるほど、面白い問題を考えましたね^^

これはFの大きさに伴い静止摩擦力が変化する、ということ。

同じような事情にあると思われる場面があります。

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