No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ガンマ関数やベータ関数と言わず、特殊関数と言われるものは皆、ある特定の数学的状況を処理するために生まれた、というのが最初の動機付けです。
ガンマ関数は最も初等的には、整数で定義されていた階乗を、ある理由のもとに(ある特定の数学的状況を処理するために)、実数まで拡張したものです。最終的には複素数にまで拡張されますが、関連するガンマ関数の公式群、ワイヤシュトラウスやハンケルの積分表示,スターリングの近似式などはどれも、特定の数学的状況に動機があります。
ところがそういう風に色々な特殊関数を詳細に調べて行くと、例えばベータ関数とガンマ関数の関連がわかり、色々な特殊関数を、ある程度統一的に理解できないか?という話になって行きます。そこから特殊関数論が始まって、#2さんの仰るような方向にも話は発展するのだと思います。
ただ実用的には、「ガンマ関数とベータ関数が使えそうだと判断する基準」は何か?と問われれば、ガンマ関数やベータ関数の動機付けとなった数学的状況と、与えられた数学的状況が似ているかどうかを、見抜ける目を持っているか、持っていなくても状況を調査(分析)した結果そうだったと言えるかどうかだと、言わざる得ません。この態度を、言葉を切り詰めて短く言うと、#1さんの、
>使ってみて使えたら、使える。
>それ以上でも以下でもない。
になると思えます。
No.2
- 回答日時:
積分をガンマ関数やベータ関数で表すことに成功すれば使えるのは確実。
しかし成功しなければ本当に表せないのか、それとも捜し方が足りないのか分かりません。ありとあらゆる変換を全て試してみるわけにもいきません。したがって積分がガンマ関数かベータ関数に帰着されるかを判定する方法、できれば変換を具体的に与える処方箋が欲しいと思うのは当然でしょう。積分が初等関数になるかどうかを判定する方法はあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86% …
西岡久美子「微分体の理論」
これは微分体のガロア理論になります。しかしガンマ関数やベータ関数は初等関数ではありません。現在のところ積分がガンマ関数やベータ関数で表されるかを確実に判定する方法はないと思います。ガンマ関数やベータ関数のほとんどの本は計算例の羅列で根底となる理論が欠如しているような印象はぬぐえません。そもそもベータ関数とは何かと言えばはFermat 曲線のH1(Cn) に
現れる周期積分となっているのだそうです。
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/su2.pdf
有理数体上定義された代数多様体や, 保型形式などに対し, Galois 群GQ の 進表現(とHodge 構造の対) を対応させることができます。この方向を進めていけば、積分が初等関数かをガロア理論で判定できたようにガンマ関数やベータ関数になるかも判定できるかもしれません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報