
すべての点で微分可能な関数u(x)が次の条件を満たしている。
u(x)=u(-x)+2x …(1) かつ u(x)u'(x)+u(-x)u'(-x)=6x^2+2 …(2)
このとき、関数u(x)を求めよ。
という問題に次のように解答したのですが、答えに自信がありません。合っているのでしょうか。
[解答1]
(2)より
[{u(x)}^2]'+[{u(-x)}^2]'=12x^2+4
{u(x)}^2+{u(-x)}^2=4x^3+4x+C
(1)より、u(-x)=u(x)-2x、これを上の式に代入して
{u(x)}^2+{u(x)-2x}^2=4x^3+4x+C
2{u(x)}^2-4xu(x)-4x^3+4x^2-4x+D=0
{u(x)}^2-2xu(x)-2x^3+2x^2-2x+E=0
u(x)=x±√(2x^3-x^2+2x+E)
[解答2]
(1)より、u(-x)=u(x)-2x、これと(2)式より
u(du/dx)+(u-2x){(du/dx)-2}=6x^2+2
2(u-x)(du/dx)-2u+4x=6x^2+2
(u-x)(du/dx)-u+2x=3x^2+1
u-x=tとおくと
(du/dx)-1=(dt/dx)より、(du/dx)=1+(dt/dx)
t{1+(dt/dx)}-t=3x^2-x+1
t(dt/dx)=3x^2-x+1
tdt=(3x^2-x+1)dx
(1/2)t^2=x^3-(1/2)x^2+x+C
t^2=2x^3-x^2+2x+D
u-x=±√(2x^3-x^2+2x+D)
u(x)=x±√(2x^3-x^2+2x+D)

No.2ベストアンサー
- 回答日時:
はい、解は間違っています。
解いた解は明らかに(1)の条件を満たさないうえに、そもそも微分方程式を解いた解は実数全域を定義域に持てないし、また微分可能でもないから。
で、どこがおかしいのだろうと、考えてみました
>【解答1】
2*{u(x)u'(x)+u(-x)u'(-x)}
= [{u(x)}^2]'+[{u(-x)}^2]'
としているけれど、これは成立しない。
d(u(-x)*u(-x))/dx = -2u(-x)u'(-x)
つまり
2*{u(x)u'(x)+u(-x)u'(-x)}
= [{u(x)}^2]'-[{u(-x)}^2]'
とならなければならない。
>【解答2】
u(-x) = u(x)-2x
du(-x)/dx = -u'(-x) = u'(x) - 2
だから、
u'(-x) = 2 - u'(x)
なのに、あなたは「u'(-x) = u'(x) - 2」としています。
あとは、自分で解いてみてくださいね。
No.1
- 回答日時:
>u(x)=u(-x)+2x …(1) かつ u(x)u'(x)+u(-x)u'(-x)=6x^2+2 …(2)
求めた解が上記の条件を満たしているかどうか、検算してみればいいのではないでしょうか。
この回答への補足
検算してみると、
u(x)-u(-x)
=(x+√(2x^3-x^2+2x+D))-(-x+√(-2x^3+x^2-2x+D))
=2x+√(2x^3-x^2+2x+D)-√(-2x^3+x^2-2x+D)
となってここから計算できないので、答えが間違っているように思えるのですが、正しい答えは何なのでしょうか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
e^-2xの積分
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
指数関数の逆ラプラス変換を教...
-
(dy/dx)+y=xの微分方程式はどの...
-
exp(-ax^2)*cosx の証明
-
数IIの積分法について
-
∫r/(a^2+r^2)^3/2drの計算の解...
-
二階微分方程式
-
微分方程式 x(dy)/(dx)-y=x^(2)...
-
導関数の記号 dy/dx の意味は?
-
数列の極限について
-
確率密度関数をf(x)=1-|x-1|と...
-
媒介変数(t)の2回微分について...
-
x−1分の2の微分の仕方を教えて...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
微積分 dの意味
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
2次微分の変数変換
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
exp(-ax^2)*cosx の証明
-
確率密度関数をf(x)=1-|x-1|と...
-
定積分∫[3→0]|x^2-4|dxの答え...
-
x/(a^2+x^2)の積分について
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
e^-1/Tの積分
-
∫x^2√(4-x^2)dxの積分
-
数IIの積分法について
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
y=f(x)と y′=f′(x)と dy/dxと d...
おすすめ情報