s(t)=4πBsinc(2πBt)の振幅スペクトル|S(w)|
を導出せよと言う問題です。

S(w)=∫s(t)exp(-jwt) dt (積分範囲はー∞から∞)
この積分ができません。

A 回答 (1件)

回答が来ないようなので...



sincというのは
sinc(t) = sin(t) / t ... t≠0
sinc(0) = 1
です。だから、
s(t) = 2sin(2πBt) /t ... t≠0
s(0) = 4πB
ですね。
s(t)が偶関数である(s(t)=s(-t))ことからS(w)は実関数であり、s(t)が実関数であることからS(w)が偶関数(正確にはS(w)=S*(-w), *は複素共役。ですがS(w)が虚数成分を持たないのでS(w)=S(-w)。)であることが解ります。

さて手抜きをする方法をお教えしましょう。
S(w)はs(t)のフーリエ変換です。先にばらしてしまうとsincのフーリエ変換は「矩形」です。(この事はフーリエ変換の基本中の基本であり、応用も広いから知っていて損はない。)すなわち
S(w) = 0 .... |w|>W
S(w) = C .... |w|<W
の形をしている。これを逆フーリエ変換
s(t) = (1/(2π))∫S(w)exp(jwt) dw (積分範囲は-∞から∞)
で元に戻してやると、
s(t) = (C/(2π))∫exp(jwt) dw (積分範囲は-WからW)
ここにjは虚数単位で、
exp(jwt) = cos(wt) + j sin(wt)
であり、sin(wt)の方は奇関数だから0になるに決まってるし、cos(wt)が偶関数であることから、
s(t) =(C/π)∫cos(wt) dw (積分範囲は0からW)
= C sin(Wt)/(πt)
(ほらちゃんとsincの形になったでしょ。)よって、
C sin(Wt)/(πt) = 2sin(2πBt) /t
となるようにW, Cを決めればよい。
W=2πB
C=2π
です。従って、
S(w) = 0 .... |w|>2πB
S(w) = 2π .... |w|<2πB
が答。おおっと、B≦0の場合にはこれじゃダメですね。
S(w) = 0 .... |w|>2π|B|
S(w) = ±2π .... |w|≦2π|B|... ±はBの符号と一致させる。
というのが正解か。だから、B≠0なら
|S(w)| = 0 .... |w|>2π|B|
|S(w)|= 2π .... |w|<2π|B|
であり、B=0の場合には、
|S(w)| = 0
ちゅうことになります。

え?|w|=2π|B|の所ではどうなっているかって?
S(±2π|B|)=∫s(t)exp(-(±j2π|B|t)) dt (積分範囲は-∞から∞)
=∫2sin(2πBt) cos(2π|B|t)/t dt
B>0のときは
=∫sin(4π|B|t)/t dt = π/2
B<0のときは
=-∫sin(4π|B|t)/t dt = -π/2
になります。
なおstomachmanは計算間違いの常習犯ですので、チェックは慎重に。
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Q球の体積を求めるときの積分範囲について

球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

Aベストアンサー

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V(必ず正)を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV(すなわち被積分関数)が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の1つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ| ...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は(◆)の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ?となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか?

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸(θ軸)で囲まれた範囲[0~2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば S=∫[0→2π} sinθdθ=0
というおかしな結果が出ます。面積はy=sinθのグラフを描けば、有るので、
S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL:http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/1300568061

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因...続きを読む

Q異なる4点A(α)、B(β)、C(γ)、D(δ)で、|α|=|β|=|γ|=|δ|、α+β+γ+δ=

異なる4点A(α)、B(β)、C(γ)、D(δ)で、|α|=|β|=|γ|=|δ|、α+β+γ+δ=0のとき、A、B、C、Dを頂点とする四角形が長方形になることの証明を、どなたかお願いします。

Aベストアンサー

(1) 2次元ユークリッド平面上のベクトルの話だという限定を付けないと、長方形にはならない。(3次元なら、たとえば原点に重心がある正四面体の頂点がα,β,γ,δでも条件を満たすでしょ。)
(2) |α|=0の場合は例外だし、α,β,γ,δのうちに同じものが含まれる場合も例外。
ということに注意した上で
(3) |α|=|β|=|γ|=|δ|=1の場合に証明すれば、他の場合は自明なので、=1の場合だけ考える。
(4) x = (α+β) とすると、αとxがなす角θはxとβがなす角と同じ。
(5) (γ+δ) = -xでなくちゃならない。で、γとxがなす角ξはxとδがなす角と同じ。
あとはθ=ξを示せばよかろ。

Q2B範囲の受験 定積分 体積 出題される?

カテゴリを迷ったのですが、まずはこちらで質問させてください

現行課程において大学受験の数学で「2Bが範囲」と銘打っているのに
定積分を用いて体積を求める問題が出題されたことはありますか?
(【定積分を使って求積すると楽な問題】とかでは無く
【実質的に定積分を使って求積しないと
試験時間内に正解できないような問題】という意味です)

それというのも、現行課程において定積分を用いて体積を求める手法が
3Cに入るのか、2Bに入るのかわかりにくいのです
建前上は3Cということになっているようなのですが
青チャート2Bですら「発展」という扱いで、定積分を用いた体積を求める手法を
紹介しているのです

Aベストアンサー

京都大学2002年後期文系数学の最後の問題がそれですね。
##1つ前の課程ですが、積分についての扱いは変わってないはずなので。

Q複素数の三角不等式|z+w| <= |z|+|w|の証明について質問で

複素数の三角不等式|z+w| <= |z|+|w|の証明について質問です。
本に

シュヴァルツの不等式
(xu + yv)^2 <= (x^2 + y^2)(u^2 + v^2)
で、z = x+yi、w = u+viとすれば、
|Re(z w~)|   ←wだけ共役複素数
= |Re{(x+yi)(u-vi)}|
= |xu + yv|
<= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)
= |z||w|
と書くことができます。

…とあるのですが、
まず、そもそも何故、虚数Imのところは計算せずに
実数Reの部分だけを計算しているのか、意図が分かりません。

それと、|Re(z w~)|は何故いきなりwが共役複素数になってるんですか?
これは、|z|^2 = |z~|^2 = z z~ という性質と関係がありますか?
シュヴァルツの不等式が(xu + yv)^2と二乗していたので、こっちでも二乗した、ということですか?

そして、その後はRe z = (z+z~)/2を適用して|xu + yv|になるのは分かるんですけど、
<= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)
になった経緯が分かりません。
(xu + yv)^2 <= (x^2 + y^2)(u^2 + v^2) が二乗だったので
|xu + yv| <= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2) は二乗をとって二乗根にした、ということですか?

三角不等式自体は別の教科書の複素数平面上に書かれた図で理解できているつもりです。
||z_1| - |z_2|| <= |z_1 + z_2| <= |z_1| + |z_2|
等号はO, OP1↑, OP2↑が一直線上にあり、
右の等号は、OP1↑, OP2↑が同じ向きのときであり、
左の等号は、OP1↑, OP2↑が反対向きのときである。
||z_1| - |z_2|| <= |z_1 - z_2| <= |z_1| + |z_2|
等号はO, OP1↑, OP2↑が一直線上にあり、
右の等号は、OP1↑, OP2↑が反対向きのときであり、
左の等号は、OP1↑, OP2↑が同じ向きのときである。
…というような図です。

いろいろ質問してすみません。どうか教えてください。お願いします。

複素数の三角不等式|z+w| <= |z|+|w|の証明について質問です。
本に

シュヴァルツの不等式
(xu + yv)^2 <= (x^2 + y^2)(u^2 + v^2)
で、z = x+yi、w = u+viとすれば、
|Re(z w~)|   ←wだけ共役複素数
= |Re{(x+yi)(u-vi)}|
= |xu + yv|
<= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)
= |z||w|
と書くことができます。

…とあるのですが、
まず、そもそも何故、虚数Imのところは計算せずに
実数Reの部分だけを計算しているのか、意図が分かりません。

それと、|Re(z w~)|は何故いきなりwが共役複素数になってるんですか?
これ...続きを読む

Aベストアンサー

落ち着きなさいな.

>|xu + yv|になるのは分かるんですけど、
><= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)

Schwartzの不等式を適用してるだけ.
A,B>=0のときは
A<BとA^2<=B^2は同値なんだから
そのままでしょう
#ちなみに,こういうのは「二乗をとる」とはいいません
#「二乗をとる」というと「二乗する」という逆の意味に解釈されえます.
#まあ、気持はわかる(指数を「除去」するという意味で「とる」といってるんだろうから)けど

>実数Reの部分だけを計算しているのか、意図が分かりません。
>
>それと、|Re(z w~)|は何故いきなりwが共役複素数になってるんですか?

意図も何も明らかで
どうにかして「xu+yv」をzとwから構築しようとしただけ.
z=x+iy, w=u+ivなんだから
xuを作るにはzwを計算することが自然にでてくる.
けどそれだと,iyiv=-yvがでてきてしまって符号が逆になるから
zw~という風に共役を使うとうまくいく.
そしてでてきたxu+yvはzw~の実部だから,Re(zw~)ってわけ.
これをきちんと整理して書けば
最初からいかにも見通してましたというように
Re(zw~)から天下り式に記述する.
数学の証明の常套手段です.
これからたくさんみるでしょう,この手の
「その最初の一歩どうやってみつけたんじゃ」という類の証明を.
どうやって見つけたかを考えるのも勉強です.
#ちなみに,xu+yvのように「掛け算」したものを「足す」というのは
#(a+b)(c+d)のような展開を巧妙に使うことで処理することが多い.これも常套手段.

自分で実際に手を動かして計算してないでしょう?
計算してたらすぐ意味はわかるはず.
計算してたら zz~=|z|^2と関係があるなんて思わないと思うなあ.

落ち着きなさいな.

>|xu + yv|になるのは分かるんですけど、
><= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)

Schwartzの不等式を適用してるだけ.
A,B>=0のときは
A<BとA^2<=B^2は同値なんだから
そのままでしょう
#ちなみに,こういうのは「二乗をとる」とはいいません
#「二乗をとる」というと「二乗する」という逆の意味に解釈されえます.
#まあ、気持はわかる(指数を「除去」するという意味で「とる」といってるんだろうから)けど

>実数Reの部分だけを計算しているのか、意図が分かりません。
>
>それと、|Re(z w~)|...続きを読む

Q電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのよう

電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのようになりますか?

Aベストアンサー

>ただ、電束密度Dと表面電荷密度ρ(C/m^2)の関係をもとめたいのです。
>マクスウェル方程式のdivD=ρを用いるのですか?

divD=ρこそが質問者さまが欲している関係式なのでは?
divが微分演算子なので、これが微分形。
この式を体積積分して、Gaussの定理を用いて積分形を得ます。

Q重積分の体積

重積分の体積の問題で分からないものがあります。
どなたか解説頼みます(__

(1)Z=2-x^2-(y/2)^2とxy平面で囲まれる立体の体積を求めよ。
(2)2曲面Z=x^2+y^2-1とZ=-2x^2-2y^2で囲まれる立体の体積
(3)球x^2+y^2+z^≦a^2と円柱x^2+y^2≦axの共通部分。ただしa>0。

(1)まず与えられた式を立体に図示できないのですが、それぞれどんな形の式になるのでしょうか?
(2)図示できなので範囲もわからないです^^;

それさえできればあとは積分するだけですよね?

(1),(2)の疑問を解説して下さい(__

Aベストアンサー

#1,#2です。

(1)
(1)も立体の図を作りましたので添付します。

A#1で書いた積分はできましたか?

当方の計算では「V=4π」と出ています。

(2)
当方の計算では「V=π/6」と出ています。

Q∫sinθdθ=2 (積分範囲-∞→∞) は正しい?

以前、∫(-∞→∞)sinθdθ=2という質問がありました。一見したところ、こうなるわけがない感じがするのですが、必ずしもそう言えないようです。Riemann-Liouville fractional integralは
 (1/Γ(α))∫(a→x)dy f(y)/(x-y)^(1-α)
で定義されます。a=-∞, 0<α<1とすると
 (1/Γ(α))∫(-∞→x)dy sin(y)/(x-y)^(1-α) =sin(x-πα/2)
ここでα=1, x=0とすると
 ∫(-∞→0)dy sin(y) = -1
よって、
 ∫(-∞→0)dy -sin(y) +∫(0→∞)dy sin(y) =2
となって、∫(-∞→∞)dy sin(y) =2 とかなり近くなります。場合によっては、∫(-∞→∞)dy sin(y) =2 となることもあるのでしょうか。

Aベストアンサー

grothendieck さん,お久しぶりです.

> 物理では収束しない積分を収束する積分で置き換えてから
> 極限をとることはしょっちゅうあります。

一番普通の収束因子は exp(-λ|θ|) でしょうね(λ>0).
これを入れると
(1)  ∫(0→∞) sinθ exp(-λ|θ|) dθ = 1/(1+λ^2)
ですから,積分後にλ→0 とすると,1になりますね.
うまく行っているように見えますが,
-∞→∞ にすると奇関数でゼロになっちゃいます.
やっぱり元が奇関数ですから,
適当な操作で積分が収束するようにしてもなかなか奇関数の呪縛からは
逃れられないようです.

有名な積分
(2)  ∫(0→∞) {sin(ax)/x} dx = π/2  (a>0)
の両辺を a で微分して(順序交換して良いかどうかは知らん顔して) a=1 とおくと
(3)  ∫(0→∞) sin x dx = 0
ですね~.

う~ん.

grothendieck さんにとっては釈迦に説法のことしか書いていませんね~.

grothendieck さん,お久しぶりです.

> 物理では収束しない積分を収束する積分で置き換えてから
> 極限をとることはしょっちゅうあります。

一番普通の収束因子は exp(-λ|θ|) でしょうね(λ>0).
これを入れると
(1)  ∫(0→∞) sinθ exp(-λ|θ|) dθ = 1/(1+λ^2)
ですから,積分後にλ→0 とすると,1になりますね.
うまく行っているように見えますが,
-∞→∞ にすると奇関数でゼロになっちゃいます.
やっぱり元が奇関数ですから,
適当な操作で積分が収束するようにしてもなかなか奇関数の呪縛からは...続きを読む

Q2重積分を使った球の体積の求め方

漠然とした質問なんですが、球の体積を2重積分を用いて求めるのはどうしたらいいですか?
どなたか詳しい方教えてください。

Aベストアンサー

原点を中心とする半径 R の球を考えることにします
xy 平面上の点 (x,y) のところでは球面までの高さが
(1)  z = √(R^2 - x^2 - y^2)
ですから,
微小体積 z dx dy を 領域 0≦ x^2 + y^2 ≦ R^2
について積分すればいいでしょう.

Q積分の計算 I=∫[-∞~+∞] ((x^2+x+2)/(x^4+10

積分の計算 I=∫[-∞~+∞] ((x^2+x+2)/(x^4+10x^2+9))dx

という積分Iを解ける方がいましたら参考にさせて頂きたいです。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

#1さんのヒントの通り、こういう問題の定石は被積分関数の分母を因数分解し、部分分数展開してから積分することです。

((x^2+x+2)/(x^4+10x^2+9))
=(x^2+x+2)/((x^2+1)(x^2+9))
=(1/8)(x+1)/(x^2+1) - (1/8)(x-7)/(x^2+9)
=(1/8)x/(x^2+1)+(1/8)1/(x^2+1)-(1/8)x/(x^2+9)+(7/8)/(x^2+9)

I=(1/8)∫x/(x^2+1)dx+(1/8)∫1/(x^2+1)dx-(1/8)∫x/(x^2+9)dt+(7/8)∫1/(x^2+9)dx
= … (途中計算は出来ると思いますのでやってみてください)
=(1/16)log(x^2+1)+(1/8)tan^-1(x)-(1/16)log(x^2+9)+(1/16)log(x^2+1)
+(7/24)tan^-1(x/3)) +C

分からなければ補足で質問下さい。


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