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平面上の3直線を、
f_1(x,y)=a_1x+b_1y+c_1=0
f_2(x,y)=a_2x+b_2y+c_2=0
f_3(x,y)=a_3x+b_3y+c_3=0
とすると、それらが一点で交わる(すべてが平行になった場合、無限遠で交わるとする)必要十分条件は、
λ_1 f_1(x,y) + λ_2 f_2(x,y) + λ_3 f_3(x,y) =0
となる、λ_1、λ_2、λ_3が存在すること。いいかえれば、
行列式| (a_1 b_1 c_1) (a_2 b_2 c_2) (a_3 b_3 c_3) |=0

では、平面上の3円を、
f_1(x,y)=x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0
f_2(x,y)=x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0
f_3(x,y)=x^2+y^2+a_3x+b_3y+c_3=0
とすると、それらが一点で交わる必要十分条件はどのように考えられるのでしょうか。

「平面上の3円が一点で交わる必要十分条件」の質問画像

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A 回答 (5件)

平面上の3円を、


f_1(x,y)=x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0
f_2(x,y)=x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0
f_3(x,y)=x^2+y^2+a_3x+b_3y+c_3=0
とすると、
>それらが一点で交わる必要十分条件はどのように考えられるのでしょうか。

3つの円の交点から、それぞれの円の中心までの距離は、それぞれの円の半径に一致する。
(図を描いてみれば分かります。)
3つの円のうちの1つの円周上の1点と、3つの円の中心までの距離が、それぞれの半径に一致すれば、その1点は3つの円の交点である。
(この文章通りに作図すると、1点で交わります。)

この両方で、必要十分条件にならないでしょうか?
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最初はそう思ったんだけど, 「3つの弦が 1点で交わる」ことと「3つの円が 1点で交わる」こととは全然違うんです>#3.



「2つの弦の交点」が (どれかの) 円の上にあればいい... のかなぁ?
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> #1さん


それは必要条件にしかなっていないと思いますが。
というか、3つの円のうちの任意の2円が共通弦をもつなら、その3本の弦は常に1点で交わります。
 g_1(x,y)-g_2(x,y)=0
 g_2(x,y)-g_3(x,y)=0
を両方満たす(x, y)は、当然
 g_3(x,y)-g_1(x,y)=0
も満たしますから。
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横から蛇足:


f_1(x,y)=0 が共通弦の式に
なるための条件も忘れずに。
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紛らわしいので


3円を
g_1(x,y)=x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0
g_2(x,y)=x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0
g_3(x,y)=x^2+y^2+a_3x+b_3y+c_3=0
とすると
各2つの円の共通弦の直線の式は
f_1(x,y)=g_1(x,y)-g_2(x,y)=0
f_2(x,y)=g_2(x,y)-g_3(x,y)=0
f_3(x,y)=g_3(x,y)-g_1(x,y)=0
となります。
この3つの直線が1点で交わるための必要十分条件は既に求められているのではないのでしょうか?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
しかし、3つの円のうちの任意の2円が共通弦をもつなら、その3本の弦は常に1点で交わるようです。
f_1(x,y)+f_2(x,y)+f_3(x,y)=0なので。

お礼日時:2012/04/27 21:26

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Q3つの円が1点で交わる条件について

_________________________________________________________
目標:ある点Aの位置を計測したい(GPSみたい).

条件:三角形の3つの頂点にセンサそれぞれ配置している.(センサの位置は既知)
   各センサはある点Aとの距離を計測できる.
  (ただし条件として,計測できる距離は一意ではなくある係数倍かかっています.)
__________________________________________________________
条件を満たしつつ目標を達成するために,係数αを逆算したいです
以下質問


まず,計算を簡単にするために,3つのセンサの配置座標を回転+平行移動させて
センサ1(0,0,0)   半径(出力距離) αR1
センサ2(X2,0,0)  半径(出力距離) αR2
センサ3(X3,Y3,0) 半径(出力距離) αR3
とすると,3つの円の方程式は,

x^2      + y^2     = αR1 ・・・(1)
(x - X2)^2  + y^2     = αR2 ・・・(2)
(x - X3)^2  + (y - Y3)^2 = αR3 ・・・(3)

とここまではわかるのですが,
学校では勉強したときは,2円が交わる,接する,接しないかを判別するのに,判別式を使いましたが,
3つの円が1点で交差するための条件は学んでおらず判りません.

条件がわかれば,それを満たすαがわかるので,
位置を推定するときにα倍すれば位置が推定できそうなのですが・・・

数学の知識が乏しいため,詳しい方がおられましたらご教授お願いいたします.

_________________________________________________________
目標:ある点Aの位置を計測したい(GPSみたい).

条件:三角形の3つの頂点にセンサそれぞれ配置している.(センサの位置は既知)
   各センサはある点Aとの距離を計測できる.
  (ただし条件として,計測できる距離は一意ではなくある係数倍かかっています.)
__________________________________________________________
条件を満たしつつ目標を...続きを読む

Aベストアンサー

2つの円の交点は、高々2つしかありません。
3つめの円は、その2つの交点のうちどっちなのかを選択しているだけです。

センサ1とセンサ2の円の式から交点の2座標を計算し、その位置とセンサ3との距離がαR3になっているかを判断すればいいのではないですか?


なお、円の式(1)は、半径がαR1なら、
x^2 + y^2 = (αR1)^2
です。

Q数学2 1点で交わる3直線に関する問題

『3直線 x-3y-1=0…(1), 2x+y-a=0…(2), 3x+4y-a-7=0…(3) が1点で交わるように、定数aの値を求めよ。』 という問題があります。

これを解くに当たりまして、(2), (3)よりaを消去して得られる式
x-3y-7=0 (仮に(4)式とします)
と(1)式を連立させた場合、(x, y)=(4,1) となり、
これを(2)式に代入すると、a=9が得られます。
また、(3)式に代入すると、a=6が得られます。

一方、(1)(2)式の交点(aを含んだ式)を求め、それが(3)式を満たすという手順で解くとa=9のみ得られます。

前者の方法の何が問題なのでしょうか?
また、前者の方法で得られる(4)式は、図形的(数学的)にどのような意味をもつのでしょうか?

お分かりになられる方、どうぞご教授お願いいたします。

Aベストアンサー

2x + y - a = 0 …… (2)
3x + 4y - a - 7 = 0 …… (3)

>(2), (3)よりaを消去して得られる式x-3y-7=0 (仮に(4)式とします)

(2),(3)からaを消去するには、
(2) - (3)
または
(3) - (2)
を行なう必要があります。どちらを行なっても、
質問者さんの(4)式である
x - 3y - 7 = 0
という結果は出ないように思います。

x + 3y - 7 = 0
または
-x - 3y + 7 = 0
だったら、出ると思います。

Q いま、わたしの息子は大学院受験に向け勉強中です。名古屋大学の機械理工

 いま、わたしの息子は大学院受験に向け勉強中です。名古屋大学の機械理工学に進みたいようで、ここ2ヶ月間毎日10時間ほど専門科目のテキストを復習しているようです。最低3回は見直すのだ、と言ってます。3月から受験し続けて、TOEICは700点位いになったそうです。それにしても、大学入試ならいざ知らず、これほどまでのことをしないと大学院には入れないのですか?息子を見てると大学入試の時より厳しそうで、悲壮感さえ漂ってきます。試験は再来週に迫っています。皆さんの成功体験や勉強方法に関するアドバイスをご教示下さい。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

院卒したものです。
卒業大学から、そのまま進学するなら、やや楽ですが、
大学院進学は、かなり厳しいです。
募集人数も少ないですし、人気の院、学部ならば、更に難関でしょう。
また、研究のためには、英文の論文を読む必要もあり、書く必要もあるため、英語力もかなり必要になります。
また、専門知識も、研究する上で、もちろん必要になりますから、学部で4年間勉強してきたものとして、試験で問われるところです。
希望する院に不合格で、母校に研究生として入学し、勉強を続ける学生も結構多いですよ。

私は、ひたすら長文読解(英語が苦手だったので)、ちなみに辞書は持ち込み可でした。
専門は、教授に質問しながら、受験した専門分野に関するノート、プリント、テキスト、全て復習しました。
その分野が専門の教授に直に指導を受けられたのは大きかったですね


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