数学I 平方根を含む式の計算

x=1/2+√2,y=1/2-√2のとき、x²+y²=(x+y)²-2xyであることを用いて、x²+y²の値を求めよ。
この問題の解き方を教えて下さい。答えは3です。

No.4 回答者： edomin7777 回答日時： 2012/05/06 07:58

分数は分子・分母がしっかり判るように括弧を使って区切りましょう。

x=1/(2+√2),y=1/(2-√2)のとき、x²+y²=(x+y)²-2xyを利用して、x²+y²を求めるんですよね。

1/(2+√2)+1/(2-√2)
=(2-√2+2+√2)/{(2+√2)(2-√2)}
=4/(4-2)
=2
なので、
(x+y)²=4
2{1/(2+√2)}{1/(2-√2)}
=2(1/{(2+√2)(2-√2)}
=2(1/2)
=1
なので、
2xy=1
x²+y²=(x+y)²-2xy=4-1=3

となります。

No.3 回答者： masssyu 回答日時： 2012/05/05 22:26

普通に代入するだけです

x^2+y^2={(1/2+√2)+(1/2-√2)}^2-2*(1/2+√2)*(1/2-√2)
=1^2-2*(1/4-2)=1-1/2+4=9/2

3にはなりません

No.2 回答者： ennalyt 回答日時： 2012/05/05 22:21

基本対象式を使って解け、

っていう誘導です。

手元の教科書や参考書で「基本対象式」の例題を探して、
そのとおりやってみてください。

x²+y²を直接計算しようとするより、
(x+y)²-2xyという風に平方完成してから計算した方が早くなるでしょ。

この値がパッと出るよね？
x+y=?
xy=?

No.1 回答者： LHS07 回答日時： 2012/05/05 22:21

普通は

x²+y²=((1/2+√2)²+(1/2-√2)²
ですね。

x+y
=1/2+√2+1/2-√2

　xy
＝（1/2+√2）＊（1/2-√2）