モーメント

長さl、質量mの棒を滑らかな鉛直の壁に立て掛ける
床は粗く、静止摩擦係数をμとする
角度θを徐々に小さくしていくとやがて棒は滑り出す
その直前の角をθ0として、tanθ0を求めよ


図は書いたのですが、どのように力のモーメントが釣り合うのか分かりません
教えてください!

No.4 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2012/06/09 16:00

"力のモーメント"　について、基本的なことを確認しておきます。

Ｏ，Ｐに伸びる棒があります。
Ｏ点が回転軸で、棒の一点Ｐに力Ｆが作用しています。

力Ｆが、棒を回転させることを考えます。
Ｆを図のように、２つの成分に分けて見ると
Ｆ"　は、回転に寄与していません。Ｆ"の方向に力を加えても、棒は回転するはずがないからです。
このことから、Ｆの成分Ｆ'（棒に垂直な方向の分力）が、真に回転に寄与する成分であることがわかります。

つまり、Ｆの、Ｏ点回りのモーメントの大きさＭは
Ｍ＝Ｆ'・Ｌ＝（Ｆ・sinθ）・Ｌ
となります。

ところで、式は、Ｆ・（Ｌ・sinθ）と見ることもできます。
この式の
　L・sinθ
が、　腕の長さ　と呼ばれる量です。

図形的に見ると　L・sinθ＝ＯＱの長さ　です。
ＯＱは、力Ｆの作用線（Ｐ，Ｑを通る直線）に、　Ｏ点から下した垂線　と位置づけられます。

以上から、力Ｆのモーメントの大きさは、
（１）Ｆ'×ＯＰ
または
（２）Ｆ×ＯＱ
として表すことができることになります。
もちろん、どちらで表しても構いません。


蛇足になりますが、θの代わりに　180°－θ　を使っても
　sinθ＝sin(180°－θ）
が成り立ちますから、力 F と、FとOPのなす角度は　鋭角を使っても鈍角の方を使っても同じ結果を与えます。

この回答へのお礼

さらなる解説ありがとうございました!

お礼日時：2012/06/09 16:04

No.3 回答者： Quarks 回答日時： 2012/06/09 15:20

>重力によるモーメントはうでの長さがcosθ0×l/2で力がmgということでいいのでしょうか？

その通りです。

確認しておきましょう。力のモーメントの大きさは

　　力の大きさ・腕の長さ

として表されます。
ここで、「腕の長さ」とは、注目している力の作用線と、回転軸との距離（回転軸から、力の作用線に下した垂線の長さ）です。


添付図で、Ａ点のまわりのモーメントを考えるのですから、回転軸はＡ点として考えることになります。
（１）ｍｇによるモーメントは
　力の大きさ＝ｍｇ
腕の長さは、ｍｇの作用線（添付図の Ｄ，Ｍを通る直線）に、Ａから下した垂線ＡＤの長さです。
　腕の長さ＝図のＡＤ＝(L/2)・cosθ
∴モーメント＝ｍｇ・(L/2)・cosθ　で右回り

>垂直抗力のモーメントはどの三角形を見てるのでしょうか？

まず、鉛直方向の力の釣り合いから
　Ｎ＝ｍｇ
という関係が成り立っていることがわかります。

（２）Ａ点のまわりの、Ｎによるモーメントでは
　力の大きさ＝Ｎ＝ｍｇ
Ｎの作用線はＢ，Ｃを通る直線ですから
　腕の長さ＝ＡＣ（ＯＢと同じ長さ)＝Ｌ・cosθ
∴モーメント＝ｍｇ・Ｌ・cosθ　で　左回り

（３）Ａ点のまわりの、摩擦力 Ｆ によるモーメントでは
　力の大きさ＝Ｆ＝μＮ＝μ・ｍｇ
Ｆの作用線はＢ，Ｏを通る直線ですから
　腕の長さ＝ＡＯ＝Ｌ・sinθ
∴モーメント＝μ・ｍｇ・Ｌ・sinθ　で右回り

最後の力（Ａ点に作用している、壁面からの垂直抗力Ｎ'）によるモーメントは０（回転軸に加わる力は物体を回転させる能力を持ちませんから、そのモーメントは常に０）ですから、

　　棒が回転しない＝”棒に作用しているすべての力のモーメントの和＝０”

という条件は

ｍｇ・(L/2)・cosθ＋μ・ｍｇ・Ｌ・sinθ＝ｍｇ・Ｌ・cosθ

として表されます。
すべての項にｍｇＬが含まれていますから、整理すると簡単な式になって

μ・sinθ＝(1/2)・cosθ
∴tanθ＝sinθ/cosθ＝1/(2μ)

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです!ありがとうございました!

お礼日時：2012/06/09 15:34

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/06/09 14:16

重力は垂直下向きで、その大きさはｍｇ、作用点は棒の中点です。

重力によるモーメントは
　中心からの距離：Ｌ／２
　重力の、棒に垂直な成分：ｍｇｃｏｓΘ
の積になります。

垂直抗力は垂直上向きで、その大きさはｍｇ、作用点は床との接点なのでそのモーメントは
　中心からの距離：Ｌ
　棒に垂直な成分：ｍｇｃｏｓΘ
の積になります。

摩擦力は垂直効力に摩擦係数を掛けたもので、その方向は水平（棒と床の接点から壁に向かう方向）、作用点は床との接点です。そのモーメントは
　中心からの距離：Ｌ
　棒に垂直な成分：ｍｇμｃｏｓΘ＊ｓｉｎΘ
の積になります。

この回答への補足

すみません
棒に垂直な成分とはどのことですか？その延長線上は何の点を通るのですか？

補足日時：2012/06/09 14:41

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/06/09 12:33

壁との接点を中心とした場合の

（１）重力によるモーメント　Ｌ／２＊ｍｇｃｏｓΘ
（２）床から受ける垂直効力によるモーメント　Ｌ＊ｍｇｃｏｓΘ
（３）床から受ける摩擦力によるモーメント　μＬ＊ｍｇｃｏｓΘ＊ｓｉｎΘ
が釣り合います。（１）と（３）は同じ方向、（２）だけが逆方向なので
Ｌ／２＊ｍｇｃｏｓΘ＋μＬ＊ｍｇｓｉｎΘｃｏｓΘ＝ＬｍｇｃｏｓΘ
ｃｏｓΘ／２＋μｓｉｎΘｃｏｓΘ＝ｃｏｓΘ
μｓｉｎΘ＝ｃｏｓΘ／２
μｔａｎΘ＝１／２

この回答への補足

すみません
重力によるモーメント　Ｌ／２＊ｍｇｃｏｓΘ
床から受ける垂直効力によるモーメント　Ｌ＊ｍｇｃｏｓΘ
床から受ける摩擦力によるモーメント　μＬ＊ｍｇｃｏｓΘ＊ｓｉｎΘ

重力によるモーメントはうでの長さがcosθ0×l/2で力がmgということでいいのでしょうか？
垂直効力のモーメントはどの三角形を見てるのでしょうか？
摩擦力のモーメントはなぜこんな式になったのでしょうか？
教えてください!

補足日時：2012/06/09 13:27