平面図形の問題です！！

3辺の長さが　AB=7、BC=5、CA=3√6である三角形ABCにおいて、

辺ACを直径とする円が辺AB、BCと交わる点を

それぞれD、Eとし、CDとAEの交点をFとするとき、

線分BFの長さを求めよ。

早めの解説をお願いしたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/13 07:56

＞3辺の長さが　AB=7、BC=5、CA=3√6である三角形ABCにおいて、

＞辺ACを直径とする円が辺AB、BCと交わる点を

＞それぞれD、Eとし、CDとAEの交点をFとするとき、
ＡＣを直径とする円を描くと、ＡＣ上の円周角だから、角ＡＤＣ＝角ＡＥＣ＝９０度
よって、△ＡＤＣと△ＡＥＣと△ＣＢＤと△ＡＢＥは直角三角形
△ＡＥＣと△ＡＢＥとで、ＢＥ＝ｘとおくと、ＥＣ＝５－ｘ
三平方の定理より、
ＡＥ^2＝７^2－ｘ^2＝（３√６）^2－（５－ｘ）^2より、
１０ｘ＝２０より、ｘ＝２，５－ｘ＝３　ＡＥ^2＝７^2－２^2＝４５より、ＡＥ＝３√５
よって、ＢＥ：ＥＣ＝２：３……（１）
△ＡＤＣと△ＣＢＤとで、ＢＤ＝ｙとおくと、ＤＡ＝７－ｙ
同様に
ＣＤ^2＝５^2－ｙ^2＝（３√６）^2－（７－ｙ）^2より、
１４ｙ＝２０より、ｙ＝10/7，７－ｙ＝39/7
ＡＤ：ＤＢ＝39/7：10/7＝３９：１０　……（２）

ＡＢベクトル，ＡＣベクトルを考えると、
（１）より、
ベクトルＡＥ＝(3/5)ＡＢ＋(2/5)ＡＣ
Ａ，Ｆ，Ｅは一直線上にあるから、
ＡＦ＝ｓＡＥとおける
ＡＦ＝(3/5)ｓＡＢ＋(2/5)ｓＡＣ　……（３）
（２）より、
ベクトルＣＤ＝(39/49）ＣＢ＋(10/49)ＣＡ
＝(39/49)（ＡＢ－ＡＣ）－(10/49)ＡＣ
＝(39/49)ＡＢ－ＡＣ
Ｃ，Ｆ，Ｄは一直線上にあるから、
ＣＦ＝ｔＣＤとおける
ＣＦ＝(39/49)ｔＡＢ－ｔＡＣ
ＡＦ－ＡＣ＝(39/49)ｔＡＢ－ｔＡＣ
ＡＦ＝(39/49)ｔＡＢ＋（１－ｔ）ＡＣ　……（４）
（３）（４）より、係数比較すると、
(3/5)ｓ＝(39/49)ｔ，(2/5)ｓ＝１－ｔ
連立で解くと、ｓ＝13/15，ｔ＝49/75

ＡＦ＝(13/15)ＡＥより、ＡＦ：ＡＥ＝１３：１５だから、
ＡＥ：ＦＥ＝１５：２
ＦＥ＝(2/15)×ＡＥ＝(2/15)×３√５＝２√５／５
△ＦＢＥは直角三角形だから、三平方の定理より、
ＢＦ^2＝ＢＥ^2＋ＦＥ^2
＝２^2＋（２√５／５）^2
＝１２０／２５
よって、ＢＦ＝２√３０／５

どうでしょうか？図を描いて考えて下さい。

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/06/13 09:53

AB⊥CD,AE⊥BC(半円周の円周角による)

△ABE,△ACEでBE=xとすると
AE^2=7^2-x^2=(3√6)^2-(5-x)^2(三平方の定理)
49-x^2=54-25+10x-x^2 10x=20 x=2
AE=√(7^2-2^2)=√45=3√5
∠BAE=∠DCE(円弧DEの円周角)
よって△ABE∽△ECFからAE/BE=CE/EF
EF=CE*BE/AE=(5-2)*2/(3√5)=2/√5
BF=√（BE^2+EF^2)=√{2^2+(2/√5)^2}=√(4+4/5)
=2√(6/5)=(2√30)/5・・・答え

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/06/12 22:58

ＡＣを直径とする円は△ＡＤＣおよびＡＥＣの外接円です。

ＡＣが直径なのだから、∠ＡＤＣおよびＡＥＣは直角です。ということはＦは△ＡＢＣの垂心ということになります。あとは下記をご参照下さい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9E%82%E5%BF%83