行列 掃き出し法

掃き出し法について質問させて頂きます。

掃き出し法を行う場合に、基本的には行基本変形を行なって、
階段行列ないし単位行列を求めますが、列基本変形を行なっても
同じになるのはなぜでしょうか？


また、行基本変形を行って、その後、列基本変形を行うというような
基本変形を行と列でちゃんぽんして計算しても良いのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/02 18:54

う～ん。

行列の階数を定義するのに、基本変形を用いた
階段化を経由するテキストは意外に多い。
演習問題との絡みで、具体的な行列の階数を
計算するためには、そのタイプの定義が解りよい
っちゃ解りよいのだけれど…
線型写像を表現するものとしての行列の性質を
理解するためには、像空間の次元だとか、
非零小行列式の次数だとかによるほうがスジがよい
ように思えてならない。
階段行列を使っても、厳密さに支障は無いけれども。

一次方程式を解く際に、行基本変形だけ使って
完了できることは、ガウスの消去法にも見えるとおり。
列基本変形を併用する上での注意点は、前述の如く、
列変形を行うと、もとの各未知数が行番号に対応
しなくなるから、最後に列変形を逆にたどって
未知数の値を復元しなければならなくなるってこと。
そこを間違えなければ、列変形を使っても構わない。

この回答へのお礼

いつもご回答ありがとうございます。

＞列基本変形を併用する上での注意点は、前述の如く、
＞列変形を行うと、もとの各未知数が行番号に対応
＞しなくなるから、最後に列変形を逆にたどって
＞未知数の値を復元しなければならなくなるってこと。

理解できました。

お礼日時：2012/07/03 10:20

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/30 23:09

>例

>1 1 1
>0 0 1
>0 0 2
>にういてですが、
>行基本変形だけで計算すると
>1 1 1
>0 0 1
>0 0 0
>でrankが2になると思います。

これはひと目で１行目と２行目が一次独立なのが明らかなので
2 であることは明らかなんですが、rank を 2 と判断する明確な基準が
ないですよね。

上三角化でよくやる rank の判断のやりかたは

1 X X X ・・・
0 1 X X ・・・
0 0 1 X ・・・

という形がどこまで基本変形で伸ばしてゆけるかです。


1 1 1
0 0 1
0 0 2

1 1 1
0 1 0
0 2 0

1 1 1
0 1 0
0 0 0

としてここでストップなので 2

1 0 0 0 ・・・
0 1 0 0 ・・・
0 0 1 0 ・・・

という標準形に基本変形でどこまで伸ばしてゆけるかという流儀もあります。
私の学んだ本はこれで rank を厳密に定義してました。

いずれにしても、線形代数の入門書を読むことをお薦めします。
たいていの線形代数の入門書では、基本変形とrank を
セットにして解説してあることが多いです。

この回答へのお礼

いつもご回答ありがとうございます。

rankの厳密な定義を知りませんでした。
線形代数の参考書を当たってみます。

ありがとうございました。

お礼日時：2012/07/01 00:27

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/30 20:32

>行基本変形と列基本変形では共に同じ階数の階段行列になると

>認識しています。

この階数って rank のこと？　そうなら 基本変形は rank を変えないので　yes ですが、

但し、ここでいう階段行列が
1) 対角成分は非ゼロ
2) 行の対角成分より前の成分は0にする。
3) 但し、最後の0以上の行は0ベクトルでよい

という意味なら、
＃本来の階段行列の定義はこんなものではないのですが・・・


行基本変形だけでは階段化の手順が止まる場合があります。

例

1 1 1
0 0 1
0 0 2

なので階段化は列基本変形を併用する必要があります。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

階数はrankのことです。
行基本変形と列基本変形を併用して解いても問題ない
という事でしょうか？
今まで、いくつか問題に当たりましたが全て行基本変形だけで
解けました。


例
1 1 1
0 0 1
0 0 2
にういてですが、
行基本変形だけで計算すると
1 1 1
0 0 1
0 0 0
でrankが2になると思います。

列基本変形を使えばどのようになるのでしょうか？
うまく解けませんでした・・・


以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2012/06/30 22:00

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/29 19:22

一次方程式を解くのに列基本変形を使うってことは、

変数変換をするってことだから、
後で、もとの未知数に戻す作業が必要になる。
掃き出し法で数値計算上の精度を維持するためには
ピボット選択が欠かせないが、
ピボット選択だけでも、未知数の復元は必要になるから、
ついでに列変形まで組み込んでしまっても、
たいして面倒は増えないのかもしれない。
行変形だけで掃き出し法は実行できるから、
あえて列変形を使う理由も無いのだけれど。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

私もいくつか問題に当たってみましたが、
全て行基本変形で解を導けました。

列基本変形を使った方が計算がラクになる場合が
あるのではと考えてこちらに質問させて頂きました。

お礼日時：2012/06/30 13:43

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/29 18:42

掃きだしで列基本変形と行基本変形では違う階段行列ができると思いますが・・・

そもそも行では普通上三角に、列では下三角にしません？？
もちろんどう変形するのも自由ですけど・・・「同じ」というのは
どのような意味合いなのでしょう？

任意の正則な行列は
列または行の基本変形行列の積に分解できることが証明されています。
なので正則な行列なら、その逆行列も正則ですから、
列または行の基本変形を組み合わせで単位行列へ変形できます。

>基本変形を行と列でちゃんぽんして計算しても良いのでしょうか？

列順を気にするような掃きだし(たとえば方程式の係数行列)の場合は
列基本変形の内容を覚えておく必要があり面倒なことになります。
そうでなければ問題ありません。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

行基本変形と列基本変形では共に同じ階数の階段行列になると
認識しています。
同じというのは、階数が同じと言う意味で使っています。
行基本変形と列基本変形では、階段行列の階数も異なるのでしょうか？

列基本変形を考えた理由は、列について計算を進めたほうが計算が
ラクな場合はあるのでは？と考えたからです。

階段行列を求める際、行基本変形で計算を進めますが、途中列で
計算した方がラクな場合に列基本変形を用いても良いのか？
と疑問に思いました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2012/06/30 15:03