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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
この問題のbaseになってるのは “ファーレ数列”。
それを使う手もあるが 素直に証明しよう。
(a+3b)/(a+b)-a/b=(3b^2-a^2)/(ab+b^2)
そこで、a/b=αとすると α>0.(3b^2-a^2)=(3-α^2)*(b)^2。a+3b/a+b=(α+3)/(α+1)
従って、(√3-α)*{√3-(α+3)/(α+1)}<0を示すと良い。
(1)0<α<√3 の時
√3-(a+3b)/(a+b)=√3-(α+3)/(α+1)=(√3-1)*(α-√3)/(α+1)<0.
よって、(√3-α)*{√3-(α+3)/(α+1)}<0 は成立する。
(2)α>√3の時
(√3-1)*(α-√3)/(α+1)>0で 、√3-α<0だから成立する。
No.3
- 回答日時:
もっと すっきりした解法なら。
簡単のために a/b=αとすると α>0。 a+3b/a+b=(α+3)/(α+1)だから
(√3-α)*{√3-(α+3)/(α+1)}<0を示すと良い。
左辺=3-√3{α+(α+3)/(α+1)}+(α^2+3α)/(α+1)
通分すると、分母>0より 分子=(1-√3)α^2+2√3(√3-1)+3(1-√3)=(1-√3)*(α^2-2√3*α+3)=(1-√3)*(α-√3)^2<0
何故なら、1-√3<0、(α-√3)^2>0.
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