雨滴落下の終端速度の問題です。

雨滴落下の終端速度の問題です。

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d^2x/dt^2＋adx/dt＋bx=f(x) （a,bは定数）…(1)
dv/dt＋bv/m=g（b.g.m.は定数）…(2)

非斉次の１階線形微分方程式(2)の一般解は、ひとつの特殊解（終端速度での等速直線運動を表す解）と非斉次項を０とおいた

dv/dt＋bv/m=0

の一般解

v=Ce^-bt/m (Cは任意定数)の和 → d/dt（Ce^kt）=k(Ce^kt)を使った
v=mg/b＋Ce^-bt/m
である。
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というのが与えられて、
（１）t=0,初速度V＝０
（２）t=0,初速度V＝V0(>mg/b)

の場合を定系非斉次線型で解けという問題です。

問題の意味がよく分かってないので、問題になってないかもしれませんが、
この方法で雨滴の落下速度と終端速度を求めて頂きたいです。
できるだけ丁寧に書いて頂けると幸いです。おねがいします。

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No.2 ベストアンサー 回答者： superkamecha 回答日時： 2012/07/23 22:36

こんばんは。

このご質問、（１）式が何故ここに書かれているのか判りませんが、、
（２）式の解は、説明されているように、
v=mg/b＋Ce^（-ｂｔ/m）
ですね。これを原式に代入してみれば、成立していることが確かめられます。

で、Cは任意定数（積分定数）なんですが、
まさに、これを初期条件を持って定めなさい、というだけでしょう。

ｔ＝０→e＾０＝１なので、
（１）V=0の場合、C=-mg/b
（２）V=V０　の場合、C=V0-mg/b
これを、ｖ＝・・の式に代入するだけです。
これが、「落下速度の式」になります。

どちらの場合も、ｔ→∞にては、Ce^（-ｂｔ/m）→０ですから、
ｖ→mg/b　となります。これが、終端速度です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。理解できました！

お礼日時：2012/07/23 22:57

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/07/23 22:27

(1)は強制振動ですから無関係ですね。

(2)が速度に比例する抵抗を受ける雨滴の落下の問題で、
この出題の指示は、おそらく常微分方程式の常道にしたがい定数変化法で解けという事ですね。

定数変化法では、斉次方程式の一般解が

v=Ce^-bt/m

なので、ここの定数Cを時間の関数C(t)として

v(t)=C(t) e^-bt/m

を非斉次方程式

＞dv/dt＋bv/m=g（b.g.m.は定数）…(2)

に代入するとC(t)の微分方程式になるのでこれを解いてC(t)を求めればいいです。

そのあとは初期条件にあう様に積分定数を定めて終了です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。分かりました！

お礼日時：2012/07/23 22:55