力学の数式[F］と［G］の求め方がわかりません。

Question

球形の雨滴が，静止している霧のなかを鉛直に落下しながら，霧の付着
により成長する場合の雨滴の運動について考える。霧は雨滴の表面積に比
例して付着するとする。時刻t＝0における雨滴の半径をr₀,落下速度を
V₀とするとき，以下の数式[A]～[G]を埋め，文章を完成させよ。ただし，dm，dr，dt，dv，dPは微小量であるとする。
解答には、途中計算も記すこと。

時刻tにおける雨滴の質量をm，半径をr，水の密度をρ(一定)とすると，
M=(4/3)πr^3ρより,dm=[A]dr －(1)
ここでは、簡単のため，単位時間に単位表面積当たり質量aの割合で霧が
付着し，雨滴が成長すると仮定する。このとき，雨滴の質量変化は，
dm＝[B]dt －(2)
となる。(1),(2)よりdmを消去すると，
dr＝[C]dt －(3)
なので，時刻tにおける雨滴の半径rは，
r＝[D］－(4)
となる。
ここで,鉛直下方をx軸の正の向きにとり，雨滴の時刻tにおける速度を
vとする。重力加速度の大きさをgとし,空気抵抗は無視できるものとし，
雨滴に働く外力は重力のみであると仮定する。このときの雨滴の運動方程式を考える。時刻tにおける雨滴の運動量は、P=mvである。時刻t＋dt
における運動量は,時刻t+dtにおける雨滴の速度をv+dv,質量を、m+dm
とすると，
P+dP＝[E］－(5)
となる。時刻tと時刻t+dtの間における運動量変化は，その間に外から働
いた外力の力積に等しいので，
dP=mgdt －(6)
である。(5),(6)式より次の運動方程式が得られる。
d(mv)/dt=[F] －(7)
(3),(4),(7)式などを用いることにより，時刻tにおける速度vが求められる。
速度vをr₀,a,t,v₀,g,ρを用いて表すと，以下のようになる。
v＝[G]

最後の数式[F］と［G］のところを教えてくださいませんか。

途中まではこんな感じなのでしょうか？
↓↓↓↓

[A]は，両辺を積分してM=(4/3)πr^3ρに元に戻らなければならないので
4πr^2ρ

[B]は，単位時間に単位表面積当たり質量aの割合で霧が
付着し，雨滴が成長すると仮定する。なので
4πr^2a

[C]は，2式を代入してa/ρ

[D]は，両辺積分して
r+C_1＝at/ρ＋C_2
r＝at/ρ＋C_2- C_1
初期条件より
C_2- C_1=r_0
よって
r＝at/ρ＋r_0

[E]は，mv+(dm)v+(dv)m+dmdv

[F]は，2式を代入して
P+mgdt=mv+(dm)v+(dv)m+dmdv
P+mgdt=P+d(mv)+dmdv
d(mv)/dt=mg-dmdv/dt

お願いいたします。

yokkun831 · Accepted Answer

[E]

P+dP = (m+dm)(v+dv) = mv + mdv + vdm + dmdv

ですが，最終項は２次の微小量として省けます。

[F]

なかなか悩ましいですね。

d(mv)/dt = mg
mdv/dt + vdm/dt = mg
(2) より，dm = 4πr^2a dt
また，m = 4πr^3ρ/3
∴dv/dt = g - 3av/(ρr)

(4)を考慮して積分することになりますが…orz

yokkun831 · Answer

d(mv)/dt = mg
mdv/dt + vdm/dt = mg

※これは積の微分公式を左辺に適用しただけですね。すでに問題の中で使われています。

(2) より，dm = 4πr^2a dt
※これは単に(2)の結果

また，m = 4πr^3ρ/3
※これは質量＝密度×体積

dm、mを上に代入すれば

∴dv/dt = g - 3av/(ρr)

微分方程式をたてる所までは何とかできたかな？という感じです。

yokkun831 · Answer

>右辺のmgはどこから来ているのでしょうか？

運動方程式の右辺は「力」です。
「外力は重力のみ」とありますから，右辺には重力すなわちmgがきます。

力学の数式[F］と［G］の求め方がわかりません。

[E]

この回答への補足

d(mv)/dt = mg

この回答への補足

>右辺のmgはどこから来ているのでしょうか？

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