レンズ

Question

半径6cmの凸レンズの前方10cmに長さ2cmの物体を置く 
後方には実像ができた 
前方5cmの点Aを中心に円形の黒い紙を光軸に垂直に置き、半径を増していく 
像が欠け始めるときと完全に消えるときの半径を求めよ 

解き方を教えてください！

Hikaru99 · Accepted Answer

＞　黒い紙の半径によっては、物体の根元からレンズの上端に引いた線が黒い紙の上端を通らず相似じゃなくなりませんか？

実像が欠けはじめる半径の位置がどこになるか考えてみると良いと思います。

Hikaru99 · Answer

２つの相似形の直角三角形があるのですから、比で計算できますよね。

Hikaru99 · Answer

No.6です。

図（C)でＢから出た緑色の光線を見てください。
緑色の光線の一部が遮られていますが、それ以外の光線はレンズに入って、スクリーンにＢ点に相当する像を作っています。

ここで、遮蔽板を左側に移動していうとどうなるか考えてみましょう。

遮蔽板を左に動かしていくと、レンズに入る緑色の光線の数が少なくなることはわかるでしょうか。

遮蔽板をもっと物体に近づけて左側に移動してみます。
ついに緑色の光線のすべてがレンズに入らなくなります。
つまり、スクリーンから物体のＢ点に相当する像がなくなります。
これが像が欠けたことになります。
考え方はこれと同じです。

Hikaru99 · Answer

このページの図（Ｂ）と（Ｃ）がヒントになるのではないかと思います。
http://starfort.cocolog-nifty.com/voorlihter/2007/04/post_b14d.html

gohtraw · Answer

２ｃｍとか４ｃｍというのは例にすぎません。
もっと端的にいえば（本当は色々線を引いてみて気づいて欲しいのですが）、レンズの端と物体の先端を結ぶ直線が円板と交差するようなら、レンズ上のいかなる点からも物体は見えないはずです。また、レンズの端と物体の根元を結ぶ直線が円板と交差するようなら、レンズのいかなる点からも物体の根元は見えないはずです。

gohtraw · Answer

点Aに適当な大きさの円板（例えば半径２ｃｍ）をおいたとして、レンズ上に視点があるとします。視点の位置が光軸から２ｃｍ未満のところにあるとき、視点と物体を結ぶ直線は全て円板と交差します。従って、光軸から２ｃｍ未満の位置にある点からは物体を見ることは（一部といえども）できません。

次に、視点が光軸から２ｃｍ以上、４ｃｍ未満の位置にあるときは視点と物体を結ぶ直線の一部が円板と交差するようになります。このとき、物体はその一部しか見ることができません。

このように、レンズ上の点と物体を結ぶ直線をいろいろ引いてみて、
（１）レンズ状のあらゆる点から物体上のあらゆる点に引いた直線が全て円板と交差するとき、像は消えている
（２）レンズ上のあらゆる点から物体上の特定の点（例えば点Qとします）に引いた直線が全て円板と交差するとき、像は欠ける（点Qは像を結ばない）

あらゆる点といっても、検討すべきなのは
レンズの端（光軸から６ｃｍの位置）
物体の根元と先端
くらいです。レンズの端から見えないものが、それより内側にある点から見えるはずもなく、物体の先端も根元も見えなければその間の点も見えませんから。

rnakamra · Answer

#2のものです。

> 根元からでた光も軸に平行なものは遮られるのではないでしょうか？

少し勘違いをなされているようですね。
どんな小さな円板を持ってきても、光の一部は遮られます。円板の中心を通る光はどんな大きさの円板であろうと確実に届きません。

この問題がいっているのは光が一部遮られる、ということではなく、レンズに当たるすべての光がさえぎられるための条件を問うているのです。その点から出る光が一部でのレンズに当たれば、その部分の実像がスクリーン上に(暗くはなりますが)現れます。
レンズに当たるすべての光が遮られた時、その部分の像がスクリーンから消えるのです。

このような場合、極端に端を通る光を考えてみればいいよ、と#2でのコメントでは示しているわけです。
実際に書いてみましょう。結構簡単にわかると思います。

rnakamra · Answer

仮に半径2mmの円板をおいてみましょう。

長さ2mmの矢印の先端と根元からレンズの端までの光線を書き入れてみましょう。
先端から出た2本の光のうち下側に出た光は円板に遮られますが、上側に出た光はレンズまで届きます。
根元からでた光は両方ともレンズに届きます。

円板を大きくしていったらどうなるでしょうか。
先ほど書いた光線の通り方をよく見てみればわかると思います。

gohtraw · Answer

物体上のあらゆる点からあらゆる方向に光が出ていると考えて、そのうちレンズに到達する光が全て遮断されるとき、像は完全に消えます。逆に考えると、レンズ上のぞの点から見ても物体が全く見えないようになったとき像は完全に消えます。

物体上のある点からの光が全て遮断されてレンズに届かなくなったとき像は欠け始めます。逆に考えると、レンズ上のいかなる点からみても物体のある一点が見えなくなったとき、像が欠け始めます。

レンズ

＞ 黒い紙の半径によっては、物体の根元からレンズの上端に引いた線が黒い紙の上端を通らず相似じゃなくなりませんか？

この回答への補足

２つの相似形の直角三角形があるのですから、比で計算できますよね。

この回答への補足

No.6です。

この回答への補足

このページの図（Ｂ）と（Ｃ）がヒントになるのではないかと思います。

この回答への補足

２ｃｍとか４ｃｍというのは例にすぎません。

この回答への補足

点Aに適当な大きさの円板（例えば半径２ｃｍ）をおいたとして、レンズ上に視点があるとします。

この回答への補足

#2のものです。

この回答への補足

仮に半径2mmの円板をおいてみましょう。

この回答への補足

物体上のあらゆる点からあらゆる方向に光が出ていると考えて、そのうちレンズに到達する光が全て遮断されるとき、像は完全に消えます。

この回答への補足

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