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aを定数とするとき、次の二次関数の最大値を求めよ。
y = -x+ax+3  (-2≦x≦1)

答えは
a<-4 のときM=2a-1
-4≦a<2 のときM=a^2/4+3
2≦a のときM=a+2

となるようなのですが、さっぱり意味がわかりません。
aをまず求めようとしてもy=2+aなどと出てきて解けません。
どなたか解説お願いします。

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数学 関数」に関するQ&A: 数学 関数

A 回答 (3件)

y=-x^2+ax+3


=-(x^2-ax)+3
=-(x-a/2)^2+(a^2)/4+3

よって頂点(a/2,(a^2)/4+3)、軸x=a/2とわかる。

グラフは上に凸であることからxの範囲がなければ、頂点のy座標がそのまま最大値となるが、
今-2≦x≦1と範囲があり、さらにグラフの軸がx=a/2であることから、
最大値を考える上で軸の位置による場合わけが必要になる。
(簡単なグラフを書いて考えてみてください)

(i)軸x=a/2<-2、すなわちa<-4のとき、
   x=-2のとき最大値をとる。(簡単な図を書けばすぐわかります)
   ∴M=y=-(-2)^2-2a+3=-2a+1

(ii)軸が-2≦a/2<1にあるとき、すなわち-4≦a<2のとき、
   頂点のy座標が最大値になる。(簡単な図を書いてください)
   ∴M=(a^2)/4+3

(iii)軸x=a/2≧1、すなわちa≧2のとき、
   x=1のとき最大値をとる。(簡単な図で確認できます)
   ∴M=y=-1^2+a+3=a+2

この問題の場合、軸の位置が定まっていないので、xの範囲と軸の位置との関係で
最大値が異なることがわかります。

まず範囲を図で定めて(-2≦x≦1)、
軸が上記の3パターンで最大値が異なることが、簡単な図を書けばわかります。

>aをまず求めようとしてもy=2+aなどと出てきて解けません。
aを求めるってどういう意味ですか?
aは今は定数扱いです。
式を変形すると軸x=a/2であることがわかり、a/2の値により軸の位置がかわり、
それにより最大値も変わるということなので、aによる場合わけが必要となります。

この手の問題は理解できるまでは難しく感じるかもしれません。
簡単な図を描いてよく考えてみてください。

この問題で大切なことは軸がa/2の値によってかわること、
そしてxの範囲がきめられていることです。
これにより最大値が軸の場所により3つのパターンにわかれることに
簡単な図を書いて気づいてください。

なにかありましたら補足してください。
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この回答へのお礼

アンサーありがとうございます。
定数の意味を履き違えていたみたいです。
図を描いてみたらよくわかりました。
二次関数はきちんと理解するまでちゃんと図も書かないとだめなようですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2012/08/18 09:08

ANo.2です。

済みません。入力ミス。

>グラフを描いて考えます。上に凸な放物線です。
です。
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>aを定数とするとき、次の二次関数の最大値を求めよ。


>y = -x+ax+3  (-2≦x≦1)
グラフを描いて考えます。下に凸な放物線です。
f(x)=-x^2+ax+3
=-(x^2-ax+a^2/4)+a^2/4+3
=-(x-a/2)^2+a^2/4+3
より、軸x=a/2
xの範囲と軸の位置の関係で場合分けします。
軸がxの区間内にあるとき、
-2≦a/2≦1より、-4≦a≦2のとき、最大値a^2/4+3
軸がxの範囲の左側にあるとき、
軸より右側が-2≦x≦1xで、その区間で単調減少なので、
a/2<-2より、a<-4のとき、最大値f(-2)=-2a-1
軸がxの範囲の左側にあるとき、
軸より左側が-2≦x≦1で、その区間で単調増加なので、
1<a/2より、2<aのとき、最大値f(1)=a+2

よって、答えの通りになります。

グラフを描いて見ると分かると思います。
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この回答へのお礼

Ferienさんもありがとうございました。

お礼日時:2012/08/18 09:09

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