積分の問題について

曲線y=Logxとx軸、y軸、y=1で囲まれる図形Sについて

Sをx軸のまわりに1回転にできる立体の体積

Sをy軸のまわりに1回転にできる立体の体積

曲線y=logx上の点P(t,logt)(t≧1)からx軸に垂線PQを下ろし、PQを通りx軸に垂直な平面上にPQを1辺とする正三角形PQRのとき、△PQRの面積

1≦t≦eの範囲でPが曲線上を動くとき、△PQRの周または内部の点が通過してできる立体の体積

めっちや困まってます。よろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/09/13 17:54

どこでどう困っている?

この回答への補足

答えが出なくて困ってます…

補足日時：2012/09/13 18:08

この回答へのお礼

自分の分からないところを明確にしていなかったところを反省したいと思います。

お礼日時：2012/09/13 22:22

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/09/13 18:35

問題文は日本語としておかしくないように書いてください。

「…体積」
ではなく
「…体積を求めよ。」
と書くこと。

取り敢えず、１つ目と２つ目の問題についての回答

1つ目の問題
体積を求めよ。であれば

体積V=π∫[0,e] 1^2 dx -π∫[1,e] (log(x))^2 dx
=πe -π∫[1,e] 1・(log(x))^2 dx ← 部分積分
=πe -π{[x(log(x))^2][1,e]-∫[1,e] 2log(x)dx}
=πe -π{e -∫[1,e] 2log(x)dx
=2π∫[1,e] log(x)dx
=2π∫[1,e] 1・log(x)dx ← 部分積分
=2π{[xlog(x)][1,e]-∫[1,e] 1 dx}
=2π{ e-[x][1,e]}
=2π

2つ目の問題
体積を求めよ。であれば

y=log(x)　から　x=e^yなので

体積V=π∫[0,1] (e^y)^2 dy
=π∫[0,1] e^(2y) dy
=π[(1/2)e^(2y)][0,1]
=(π/2)(e^2 -1)

この回答へのお礼

言葉足らずで申し訳ありませんでした。
それにもかかわらず丁寧に教えていただき、
助かりました。

お礼日時：2012/09/13 22:16

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/09/13 19:16

#2です。

A#2の回答の続きです。

３つ目の問題
「…△PQRの面積」は
「…△PQRの面積を求めよ。」
であれば

PQ=log(t)（t≧1)なので
△PQRはPQを一辺とする正三角形であるから

△PQRの面積=(1/2)PQ^2*sin60°=((√3)/4)(log(t))^2

４つ目の問題
「…立体の体積」は
「…立体の体積Vを求めよ。」
であれば

体積V=∫[1,e] ((√3)/4)(log(t))^2 dt
=((√3)/4)∫[1,e] 1・(log(t))^2 dt　← 部分積分
=((√3)/4){[t(log(t))^2][1,e]-∫[1,e] 2log(t) dt}
=((√3)/4){ e - 2∫[1,e] 1・log(t) dt}　← 部分積分
=((√3)/4){ e - 2[tlog(t)][1,e] +2∫[1,e] 1 dt}
=((√3)/4){ e - 2e +2(e-1)}
=(√3)(e-2)/4
となります。

この回答へのお礼

質問の仕方が不適切であったにもかかわらず
丁寧な解説回答ありがとうございました！

お礼日時：2012/09/13 22:14