楕円と直線の交点と曲率半径の関係

楕円曲線式　x^2/a^2+y^2/b^2=1　（原点を中心として、x軸長2a、y軸長2bの楕円）
のaが特定されているとして

上記楕円曲線と
直線　y=xtanθ　（原点を通る、特定の傾きθの直線）
との交点における
楕円の曲率半径が　特定値r　であるときに

上記楕円曲線式のbを算出する式を
教えてください　

No.18 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/03 18:52

[追記]

ANo.16
　　↓
>数値解法を試みる上では、No.14 の式のほうが 簡潔で扱いやすいだろう。
　　　　　　　　　　　　　　　　↓
>(r^2){ (b cos θ)^2 + (a sin θ)^2 }^3 = ab{ (a^2 sin θ)^2 + (b^2 cos θ)^2 }^3
>　　　　↓　cos^2(θ) = 1/(1+t^2), sin^2(θ) = t^2/(1+t^2) として
>　…　…
>(r^2)*{b^2 + (at)^2}^3 = ab{a^4t^2 + b^4}^3

これが正しい r^2 関係式、ということでしょうか？

当方の No.4 訂正した No.6 の式、
　　　　　　　　　　　　↓
>　r^2 = {(a^4t^2 + b^4)^3}/[(a^2b^2){(at)^2 + b^2}^3]
　　　　　　　　　↓
　(r^2)(ab)^2{(at)^2 + b^2}^3 = (a^4t^2 + b^4)^3}
と比べても、格別な簡潔さは見られませんけど。

　　

No.17 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/03 18:05

ANo.16

　　↓
>φ と θ を混同すると、No.4 の式が導かれる。

No.4 では、改めて x-y 系 r^2 算式を引用。
直線 y = t*x と楕円との交点 (yo/t, yo) を入れて r^2 算式を導いた。
結果の真偽は判らぬままだが、手続きとして「φ と θ を混同」する余地は無い。

　　　

No.16 回答者： alice_44 回答日時： 2012/10/03 13:58

←No.15

＞　t = tan(φ) とでもして
について

θ は、質問文中で設定された定数名だから、
解法で他の変数名に使ったら拙いのは当然として、
その衝突を避けるために、定数のほうを改名
したのでは、本末転倒としか言えない。

むしろ、No.1 の式の θ を別の文字に換えて、
|　　楕円上の点 (a cos□, b sin□) における
|　　曲率半径は {(a^2 + b^2)(cos□)^2 - a^2}^(3/2)/(ab)
…とすべきで、No.2 では、□ に φ を使った。

この φ と y = x tanθ の θ には、極座標変換
(a cosφ, b sinφ) = (L cosθ, L sinθ)
の関係があり、無論、φ と θ は異なる。
φ と θ を混同すると、No.4 の式が導かれる。

検算してみたが、どうやら No.2 の式は合っているようで、
あれを t = tanθ と置いて整理すると、確かに
No.14 の方程式になる。
数値解法を試みる上では、No.14 の式のほうが
簡潔で扱いやすいだろう。

No.15 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/02 22:47

質問者さまへ。

面白そうなので、つい経験も無い問題に手を出してみました。
ポツリポツリの作業が長引き、当方も混乱状態。弁解付きのブリーフィングでも。

・ No.1 で何気なく算式を盗用したのが混乱のもと。算式用字の混乱 (θ) です。
　{x, y} 系に乗り換え、tan(θ) を比例係数 t にすり替えて口を拭ったものの、紛らわしさは抹消できず。
　係数 t を角度指定するときは、t = tan(φ) とでもしてください。

・ r 算式については、盗用した {x, y} 系とパラメータ系を照合してみただけで、導出はサボってます。
　ご自身でもご確認してください。

・ ご質問の眼目は {t, r, a} を与えたときの {b} の求解法、とお見かけしました。
　Newton 法は当方の算式打ち込みにミスあり。修正後、収束に要する繰り返し回数は減りました。
　a/b = 1.5 の一例題では、「不動点収束」で約 30 回、「Newton」なら 5～6 回、という差あり。
　詳しく追跡してませんけど、円に近づくと複数の解が現れるようです。
　(当然かも…) ご用心のほどを。

　And, good luck !

　　　

No.14 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/02 20:37

>No.2 の方程式になりそうな気がする。

tanθ を t で置き換えたければ、すればいい。
　　　　↓
(r^2){ (b cos θ)^2 + (a sin θ)^2 }^3 = ab{ (a^2 sin θ)^2 + (b^2 cos θ)^2 }^3
　　　　↓　cos^2(θ) = 1/(1+t^2), sin^2(θ) = t^2/(1+t^2) として
(r^2)*{ b^2/(1+t^2) + (at)^2/(1+t^2)}^3 = ab{a^4t^2/(1+t^2) + b^4/(1+t^2)}^3
(r^2)*{b^2 + (at)^2}^3 = ab{a^4t^2 + b^4}^3
…となるようで。

　　　

No.13 回答者： alice_44 回答日時： 2012/10/02 20:18

はて、No.2 の式では違っているのかな？

私も計算ミスは多いほうだけれど…

No.1 の曲率の公式は合っていると思うから、
楕円のパラメータと質問文のθを混同しなければ
No.2 の方程式になりそうな気がする。
tanθ を t で置き換えたければ、すればいい。

No.12 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/02 17:50

>…肝心の方程式が 違っていたのではしかたがない。

No.1 の式 (と同値な No.10 の式も) は、θ の表すものが、問題と異なってしまっている。

ご指摘に深謝。

どなたか、{t, a, b} が与えられたときの r^2 の正しい算式を提示してれぬかと、実は内心で期待してました。
No.1 の引用式が正しいとして、ANo.8 にメモしました。
これの正解を教示いただければ幸いです。

　　

No.11 回答者： alice_44 回答日時： 2012/10/02 14:35

長い投稿が続いて、大切な点が埋没しがちだが…

ニュートン法もよいのだけれど、肝心の方程式が
違っていたのではしかたがない。
No.1 の式 (と同値な No.10 の式も) は、
θ の表すものが、問題と異なってしまっている。
No.5 を参照されたい。

No.10 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/01 22:14

蛇足のついで。

(1 次) Newton の一試行例を。

前掲の式を
　P(B) = B*(ra)^2*{(at)^2 + B}^3 - (a^4t^2 + B^2)^3
と変形。(B = b^2)
P(B) の零点に近づけるための微係数は、
　P'(B) = (ra)^2*{(at)^2 + 4B}{(at)^2 + B}^2 - 6B(a^4t^2 + B^2)^2
を使用。

これも、スプレッドシートにて算式をペタペタはりつければ、準備完了。
「不動点収束」させたサンプルで、繰り返し 20 回ほどで有効桁内で収束。
思ったほど速くならないのは、曲率半径の変化が少ないからか。(a/b = 1.5 の例題)

もっと円に近づけば、ますますカッたるくなるのでしょう。

　　

No.9 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/01 12:56

習慣病は不治の病也。

原題の y = tx を勘案すると、…