No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.1です.補足です.
定積分の定義
lim_{δ→0}Σ_{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i) (δ=max_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)
においてx_iの代わりにx_i≦ξ_i≦x_{i+1}なる任意の値ξ_iを使ってもよいです.厳密には任意の[a,b]の分割と任意のξ_iに対して
lim_{δ→0}Σ_{i=0}^{n-1}f(ξ_i)(x_{i+1}-x_i) (δ=max_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)
が一定値Iに収束するときIを定積分と呼ぶわけです.しかし実際は分割をn当分にし,ξ_i=x_iとすることが多いです.定積分が存在するら,分割とξ_iをどのように取ろうともIが計算できるからです.だから教科書にはa=0,b=1の場合
lim_{n→∞}(1/n)Σ_{i=0}^{n-1}f(i/n)
という公式を載せていることが多いのです.
再度強調しますが,定義においてはa<bということが重要ですが,c>dの場合の定積分は
∫_c^df(x)dx=-∫_d^cf(x)dx
と約束します.こうすると,便利な公式がそのまま成り立つので都合がよいわけです.マイナスの面積になるという意味付けもできます.←多分このことに質問者様は違和感があるのではないかと思われますが.
No.2
- 回答日時:
被積分関数はtの関数で|t-x|の絶対値の外れ方がxの範囲によって変わるので注意して計算し、その際定積分の計算の定義から、定積分の上限と下限は変える必要はないですよ、という意味です。
(添付図参照)>x<=1のときに[1→x]への積分範囲とはどんな意味なのですか?
特に意味は考える必要はないと思います。こういう定積分の値を求めなさいという計算問題と考えればよいと思います。(定積分の定義は教科書に載っていると思うので確認しておいてください)
あえて意味を考えるなら、添付図で言うと(左図)y=t-xを1からx(x≦1)に向かって(座標平面上ではx軸の負の方向)積分しているので、y=t-xとx軸との囲まれた面積をマイナス値(Δx<0、高さは正)で足していくことによりマイナスの面積を求めたといえるのかな?あまり意味のある解釈とは言いがたいような気がします。
面積を求めたければ、定積分の性質
∫[a→b]f(x)dx=-∫[b→a]f(x)dx
を使って積分区間をひっくり返す必要がありますが、ここではただの定積分の計算なのでそうする必要はないということです。
No.1
- 回答日時:
定積分の定義は,f(x)の不定積分F(x)が知れているときは
∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
で定義します.右辺はa,bの大小によらず計算できますからよいのです.
不定積分の存在によらない定義は区間[a,b](a<b)の分割Δ:a=x_0<x_1<・・・<x_{n-1}<x_n=bにおいて,δ=max_{0≦i≦n-1}|x_{i+1}-x_i|とおくと,分割Δに関わらず
lim_{δ→0}Σ_{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i)
が一定値Iに収束するとき,Iをf(x)のaからbまでの定積分∫_a^bf(x)dxと言います.このときはa<bですが,c>dのときも
定積分∫_c^df(x)dx=-∫_d^cf(x)dxと規約
します.
だから,x≦1のときに∫_1^xは-∫_x^1の意味なのです.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 「f(x)とg(x)のグラフで囲まれた面積を求めよ」 という積分の面積を求める典型問題がありますが、 7 2023/06/09 01:16
- 数学 写真について質問なのですが、 ①の図の面積Sを求めるとき、②と③の図の面積、つまりS=S2+S3で求 4 2023/04/27 17:20
- 統計学 連続型の確率変数について 6 2023/08/25 08:44
- 数学 重積分、累次積分の問題です。 範囲の書き換えがわかりません。 グラフを書いてみるとこのような範囲にな 4 2023/01/09 16:05
- 物理学 磁性体に関する熱力学の問題が分かりません 1 2023/07/18 03:23
- 数学 積分(面積計算) 計算する面積がX軸より下の場合マイナスをかけますが それはX軸とで囲まれている場合 3 2023/05/02 21:00
- 数学 この問題を極座標にして積分を解いて行くのですが π0:z=2x+2y S:z=x^2+y^2 D:{ 2 2023/04/14 14:01
- 数学 画像の問題について質問です。問題式を楕円の式に変形して、積分範囲を0<=x<=a √(z^2-1) 3 2022/08/29 13:44
- 数学 2重積分です。この問題の解答では、D : -a<=x+y<=a , -a<=x-y<=a と置いて、 3 2022/08/20 23:21
- 数学 この重積分の問題が分かりません。 次の重積分を求めよ。 I= ∬ √(9a^2-x^2-y^2/4) 1 2022/08/14 13:00
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^(x^2)の積分に関して
-
0の積分
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(ax)の微分と積分
-
e^(-x^2)の積分
-
高校の数学で積分できない関数
-
積分の問題
-
二重積分の問題で(1)I=∬(x^2+y^...
-
有限までのガウス積分
-
三角関数の複素フーリエ級数展...
-
不定積分∫log(1+x)/x dxが分か...
-
定積分=0という場合、積分され...
-
可積分だが二乗可積分じゃない...
-
1/1+tanxの積分
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
y=1/√xの積分を教えてください
-
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
周曲線の積分記号の意味について
-
1/x は0から1の範囲で積分でき...
-
インテグラル∫とdxについて
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報