ベクトルAとBがあり、その両方に垂直なベクトルを求めたいのですが、
どうすれば良いのでしょうか?
内積を計算した結果で0になるものが直行しているというのはわかるのですが・・・

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計算 内積」に関するQ&A: ベクトル 内積計算

A 回答 (4件)

rei00 です。

先程の回答違ってますね。alfeim さんがお書きの様に A, B の外積が求めるものですね。

で,あえて内積で頑張るなら次の様になると思います。A, B を三次元ベクトル A (a1, a2, a3), B (b1, b2, b3) とし,求めるベクトルを X (x, y, z) とすると。

垂直=内積0より
 a1・x + a2・y + a3・z = 0
 b1・x + b2・y + b3・z = 0

これを解いて
 x = z・(b3・a2 - a3・b2)/(a1・b2 - b1・a2)
 y = z・(b3・a1 - a3・b1)/(a2・b1 - b2・a1)

今,求めるベクトルの大きさが決まっていませんので,x, y, z の比を使って,求めるベクトルは (a2・b3 - b2・a3, a3・b1 - b3・a1, a1・b2 - b1・a2) となります。

つまり A, B の外積になります。なお,3次元上の次元でも同様に出来ると思います(たぶん・・・)。
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この回答へのお礼

丁寧な説明、ありがとうございます。
なぜ外積を使うと垂直なベクトルが求まるのか理解できました。

お礼日時:2001/05/21 10:08

高等学校の数学や入試問題を解く時に「2つのベクトルのいずれにも垂直なベクトル」を求めるのは、しばしば使う計算です。


原理的には「内積=0」の方程式を二つ立てて解けばよいのですが、まとも計算すると時間ばかりかかります。以下の方法でやれば10秒程度で機械的に出せます。(私も受験生の時に随分お世話になった方法です)

問:
ベクトル1 (x1, y1, z1)
ベクトル2 (x2, y2, z2)
に垂直なベクトルの一つ(x3, y3, z3)を求む

方法:
与えられたベクトルの成分を
x1 y1 z1 x1
x2 y2 z2 x2
の順で機械的に並べる。(順に並べて、先頭のx1, x2を尻尾にもう一度並べる)
ちょうど行列式のように、x1 y2-x2 y1を作る。対称性からこれが求めるベクトルのz成分(z3)となる。
次に右に一つずれて、y1 z2-y2 z1を作る。これがx成分(x3)になる。
最後にz1 x2-z2 x1を作る。これがy成分(y3)になる。

本質的にはrei00さんの回答と同じなのですが、ツールと割り切ってしまってとにかく速く求められるのがミソです。
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この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございました。
おかげでなんとかなりそうです。

お礼日時:2001/05/21 10:11

ベクトルAとベクトルBの外積が両ベクトルに対して垂直なベクトルだったと思います


3D系で法線求めるのに使ったと思いました

"法線 外積" あたりをキーワードにすれば原理も含めて説明してるサイトが見つかると思います
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この回答へのお礼

わかりました。サーチエンジンで検索してみます

お礼日時:2001/05/21 10:05

お書きの様に「内積を計算した結果で0になるもの」を求めれば良いわけですが,何がお分かりにならないのでしょうか?



内積の計算でしょうか。これでしたら,ベクトル X (x1, x2), Y (y1, y2) の内積は「x1・y1 + x2・y2」ですが。

この式をベクトル A, B に対して用いて得られる連立方程式を解けば求まると思います。
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a=(1,2,1)にもb=(2、-1,1)にも直交する単位ベクトル
を求めたいのですが、求めたい単位ベクトルをxと置いて
a・x=0、b・x=0という風にしてみたのですがうまくいきません。
計算過程を含めご教授していただける方がいらっしゃいましたら宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>> 求めたい単位ベクトルをxと置いて.。

x=(x,y,z)
 単位ベクトは、大きさが1だから、
|x|=1 と書けます。
   これを成分で表現して、
√[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1
    両辺を2乗して、
[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1・・・(A)

また、
>> a・x=0、 b・x=0

   是も成分で表現して、
(1,2,1)・(x,y,z)=0,  (2,-1,1)・(x,y,z)=0
x+2y+z=0・・・(B), 2x-y+z=0 ・・・(C)     

   (C)-(B)で、
   x=3y   これを、(B)に代入して、
   z=-5y

   x,z が y で表されているのを確認して、
   2式を(A)に入れて、

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     y=(1/√35), (-1/√35)

    即ち求めたい単位ベクトルは、
  (3/√35, 1/√35, -5/√35) 、
  (-3/√35, -1/√35, 5/√35) 。

>> 求めたい単位ベクトルをxと置いて.。

x=(x,y,z)
 単位ベクトは、大きさが1だから、
|x|=1 と書けます。
   これを成分で表現して、
√[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1
    両辺を2乗して、
[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1・・・(A)

また、
>> a・x=0、 b・x=0

   是も成分で表現して、
(1,2,1)・(x,y,z)=0,  (2,-1,1)・(x,y,z)=0
x+2y+z=0・・・(B), 2x-y+z=0 ・・・(C)     

   (C)-(B)で、
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Q一本のベクトルに直交するベクトルについて

あじぽんと申します。質問があります。

3次元空間にベクトルAが一本だけあるとします。
さらにベクトルAに直交するベクトルがいくつもあるとします。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

ちょっと待ってください。

「3次元空間にベクトルAが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルAの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。(上記で言った、向きと大きさ(始点と終点の関係)のことです。)


とはいえ、
成分が(a1、b1、c1)という3次元ベクトルがあるとしましょうか。
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内積 = a1・a2 + b1・b2 + c1・c2 = 0

>>>ベクトルAに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか?

上の式を満たすようなベクトルを作ればよいだけです。
たとえば、b2とc2をゼロにしちゃえば、いとも簡単に1つ作れます。


以上、ご参考になりましたら。

こんばんは。

ちょっと待ってください。

「3次元空間にベクトルAが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルAの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。(上記で言った、向きと大きさ(始点と終点の関係)のことです。)


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> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
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(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
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Q数学のベクトルの外積(ベクトル積)についての質問です。

数学のベクトルの外積(ベクトル積)についての質問です。
ベクトルの外積はa×b=|a||b|sinθであらわされ、平行であることを示せるのはわかるのですが、直交は調べられないのでしょうか?
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例)
a=(0,1,-1) b=(4,-1,3)で表されるベクトルで、このaおよびbに直交する単位ベクトルを外積を利用して求めよ。

Aベストアンサー

外積の定義の認識に誤りがあります。
a,bの外積a×bはベクトルです。
一方、
  |a||b|sinθ
はスカラーです。

正しくは、「外積a×bの大きさ」が
  |a×b| = |a||b|sinθ
と表されるのです。


さて、先ほども書いたようにa×bはベクトルですが、上記の式で大きさだけ定義してもa×bの定義として満足しません。
ベクトルは大きさと方向が決まらなければ一つに定まらないからです。

a×bは、大きさが
  |a×b| = |a||b|sinθ
で表され、aとbの両方に直交するベクトルの内、aからbへ右ネジを回す方向を向いたものです。


簡単に言うと、定義より、a×bはaと直交します。同様にa×bはbとも直交します。
さらに-(a×b)もa,bの両方に直交します。


そのことを踏まえると、
a=(0,1,-1) b=(4,-1,3)で表されるベクトルで、このaおよびbに直交するベクトルは
  c = ±(a×b)
と書けます。
さらにcに平行な単位ベクトルを求めれば、それがa,bの両方に直交する単位ベクトルとなります。
求めるベクトルeは
  e = c/|c| = ±(a×b)/|a×b|
です。

a×bの成分を与えられたa,bの成分から求めれば、eの成分表示を具体的に書けるでしょう。

外積の定義の認識に誤りがあります。
a,bの外積a×bはベクトルです。
一方、
  |a||b|sinθ
はスカラーです。

正しくは、「外積a×bの大きさ」が
  |a×b| = |a||b|sinθ
と表されるのです。


さて、先ほども書いたようにa×bはベクトルですが、上記の式で大きさだけ定義してもa×bの定義として満足しません。
ベクトルは大きさと方向が決まらなければ一つに定まらないからです。

a×bは、大きさが
  |a×b| = |a||b|sinθ
で表され、aとbの両方に直交するベクトルの内、aからbへ右ネジを回す方向を向いたものです...続きを読む

Q3次元ベクトルをある軸ベクトルで回転させたい

3次元ベクトルの求め方を教えてください。

下記図のように始点を軸ベクトルでθ(度)だけ回転したときの?の位置を求めたいのです。
これはどのような計算方法になるのでしょうか?なかなか思いつかなくて非常に悩んでいます。
アドバイスや回答をいただけたら助かります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

先ず、中心点(Sx,Sy,Sz)が原点にくるよう全体を平行移動させます。
(一番最後に元に戻します)
始点(Px,Py,Pz)は、(Px-Sx,Py-Sy,Pz-Sz)に移ります。この座標を(Px',Py',Pz')とします。

次に、回転軸ベクトル(Ax Ay Az)を回転させ、x軸に合致させます。それには二回の
回転変換が必要です。
最初に、ベクトル(Ax Ay Az)と、x軸方向単位ベクトル(1 0 0)のなす平面の法線ベクトルが
z軸に合うよう、x軸を回転させます(その角度をφとします)。
すると、回転軸ベクトルはx-y平面上に乗るので、それがx軸に合うよう、z軸を回転させます
(その角度をψとします)。

ベクトル(Ax Ay Az)と、x軸方向単位ベクトル(1 0 0)のなす平面の法線ベクトルは、(0 Az -Ay)。
x軸周りにφ回転させると、このベクトルは、
「1  0    0   「 0  =「      0
0 cosφ -sinφ   Az   Az・cosφ+Ay・sinφ
0 sinφ  cosφ」 -Ay」  Az・sinφ-Ay・cosφ」
で、z軸ベクトルに合うので
「      0      =「0
Az・cosφ+Ay・sinφ  0 
Az・sinφ-Ay・cosφ」  1」
これから、cosφ=-Ay/(Ay^2+Az^2)、sinφ=Az/(Ay^2+Az^2)
∴ φ=Arctan(-Az/Ay)

回転軸ベクトル(Ax Ay Az)は、
「1  0    0   「Ax =「      Ax      =「       Ax                   =「Ax 
0 cosφ -sinφ   Ay   Ay・cosφ-Az・sinφ   Ay・{-Ay/(Ay^2+Az^2)}-Az・{Az/(Ay^2+Az^2)}   -1
0 sinφ  cosφ」  Az」   Ay・sinφ+Az・cosφ」  Ay・{Az/(Ay^2+Az^2)}+Az・{-Ay/(Ay^2+Az^2)}」  0」
に変換され、x-y平面上に乗ります。これを(Ax' Ay' Az') とします。
つまり、(Ax' Ay' Az')=(Ax -1 0)

始点(Px',Py',Pz')もこの変換を受けるのですが、変換を全部纏めて後、一括変換させます。

今度は、x-y平面上に乗った回転軸ベクトル(Ax' Ay' Az')を、z軸の周りにψ回転させます。
「cosψ -sinψ 0 「Ax'  =「Ax'・cosψ-Ay'・sinψ =「Ax・cosψ+sinψ
sinψ  cosψ 0   Ay'   Ax'・sinψ+Ay'・cosψ   Ax・sinψ-cosψ
  0    0   1」  Az'」       Az'      」     0      」
これが、x軸ベクトルに合うので、
Ax・cosψ+sinψ=1
Ax・sinψ-cosψ=0
これから、cosψ=Ax/(Ax^2+1)、sinψ=1/(Ax^2+1)
∴ ψ=Arctan(1/Ax)

以上の回転の変換の積は、
「cosψ -sinψ 0 「1  0    0   =「cosψ -sinψ・cosφ  sinψ・sinφ
sinψ  cosψ 0   0 cosφ -sinφ   sinψ  cosψ・cosφ -cosψ・sinφ
  0    0   1」  0 sinφ  cosφ」   0     sinφ      cosφ   」

この変換を始点(Px',Py',Pz')に施します。
「cosψ -sinψ・cosφ  sinψ・sinφ  「Px' = 「Px'・cosψ-Py'・sinψ・cosφ+Pz'・sinψ・sinφ
sinψ  cosψ・cosφ -cosψ・sinφ  Py'   Px'・sinψ+Py'・cosψ・cosφ-Pz'・cosψ・sinφ
  0     sinφ      cosφ   」 Pz'」  Py'・sinφ+Pz'・cosφ               」 

この点を(Px”,Py”,Pz”)とします。

さて、ここでx軸に合った回転軸ベクトル(1 0 0)周りに(Px”,Py”,Pz”)を角度θ、回転させます。
「1  0    0   「Px” =「     Px”   
0 cosθ -sinθ   Py”  Py”・cosθ-Pz”・sinθ 
0 sinθ  cosθ」  Pz”」  Py”・sinθ+Pz”・cosθ」

これを(P_x, P_y, P_z)とします。

今度は、回転させた回転軸を元に戻す変換です。
回転の変換の逆行列は、行列各要素の余因子の行と列を入れ替えたものを行列式で割ったもので、
行列式は、(cosψ)^2+(sinψ)^2=1 なので、逆行列は
「 cosψ      sinψ        0  
-sinψ・cosφ  cosψ・cosφ   sinφ
sinψ・sinφ   -cosψ・sinφ  cosφ」

これを、(P_x, P_y, P_z)に施します。
「 cosψ      sinψ        0   「P_x =「P_x・cosψ+P_y・sinψ
-sinψ・cosφ  cosψ・cosφ   sinφ  P_y   -P_x・sinψ・cosφ+P_y・cosψ・cosφ+P_z・sinφ
sinψ・sinφ   -cosψ・sinφ  cosφ」 P_z」  P_x・sinψ・sinφ-P_y・cosψ・sinφ+P_z・cosφ」

結局、θ回転後のP点の座標は、
x座標 : P_x・cosψ+P_y・sinψ
y座標 : -P_x・sinψ・cosφ+P_y・cosψ・cosφ+P_z・sinφ
z座標 : P_x・sinψ・sinφ-P_y・cosψ・sinφ+P_z・cosφ
となります。

ここで、置き換えた変数を順次、元に戻します。
P_x、P_y、P_z を Px”、Py”、Pz” に、
Px”、Py”、Pz” を Px’、Py’、Pz’ に、
最後に、平行移動を戻して Px’、Py’、Pz’ を Px、Py、Pz に直します。

先ず、中心点(Sx,Sy,Sz)が原点にくるよう全体を平行移動させます。
(一番最後に元に戻します)
始点(Px,Py,Pz)は、(Px-Sx,Py-Sy,Pz-Sz)に移ります。この座標を(Px',Py',Pz')とします。

次に、回転軸ベクトル(Ax Ay Az)を回転させ、x軸に合致させます。それには二回の
回転変換が必要です。
最初に、ベクトル(Ax Ay Az)と、x軸方向単位ベクトル(1 0 0)のなす平面の法線ベクトルが
z軸に合うよう、x軸を回転させます(その角度をφとします)。
すると、回転軸ベクトルはx-y平面上に乗るので、それがx軸...続きを読む

Q二平面の交線の方程式

二平面の交線の方程式

(1)二平面 x+2y-z-4=0 と x-y+2z-4=0 の交線の方程式を求めよ。
(2)(1)の交線と点(0,1,0)とを通る平面の方程式を求めよ。

解答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(1)x+2y-z-4=0
x-y+2z-4=0
をx,yの連立方程式として解くと
x=-z+4 (z=-x+4)
y=z
よって-x+4=y=z

(2) (-1,1,1)はこの交線の方向ベクトル
   (4,0,0)はこの交線上にあり,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(4,-1,0)
   2つのベクトル(-1,1,1),(4-1,0)に垂直なベクトル(1,4,-3)を求めて,これが求める平面の法線ベクトル。
求める平面上の任意の点を(x,y,z)とすると,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(x,y-1,z)は
(1,4,-3)と垂直より
x+4(y-1)-3z=0
∴ x+4y-3z-4=0

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q平面の交線の方程式

2平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか?

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
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