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 現在、高校2年の者です。

 数学の問題で教えていただきたいことがあります。

 (1)y=f(x)=xsinx (2)y=f(x)=x+√(x^2-1) (3)y=f(x)=cos(1/x)

 上記(1)~(3)の定義域とその定義域で連続かどうかを調べるのですが、定義域で連続かどうかを調べる方法がよく分かりません。
 一応、以下のように考えております。

 定義域については、
 (1)すべての実数
 (2)根号条件より、x^2-1≧0⇔x≦-1,1≦x
 (3)(分母)≠0より、0以外のすべての実数

 連続性については、(1)~(3)のすべてにおいて、
 定義域の任意に実数aについて、lim(x→a+0)f(x)=lim(x→a-0)f(x)=f(a)を示す?
 あと、(2)の定義域の端点(x=-1とx=1)と(3)の定義域のx>0とx<0の0の付近の示し方が?

 アドバイスいただけないでしょうか。よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

関数というのは、まず定義域を決めて、その上で初めて


数式で表記できるようになります。

今回質問のように、まず式が与えられて、そこから
定義域を読み取るというのは、数学的に荒唐無稽としか
言えません。

例えば、(1) について、
f(x) = x sin x ただし x は 0 または π と
f(x) = x sin x ただし x は実数 と
f(x) = x sin x ただし 0<x<1 と
f(x) = x sin x ただし x は複素数 と
f(x) = x sin x ただし x は虚部が正の複素数 は、
どれもが同じ資格を持つ関数であり、
数式とは別に定義域を指定しなければ、
どの関数が f(x) なんだか誰にも判りません。

この問題を作った方は、関数とは何であるかを
根本的に誤解している可能性があり、おそらく
中学の教科書から復習することが必要意です。
困った先生もいたものです。


定義域を貴方が書いているとおりとすると、
(1)(2)(3) は定義域全域で連続になります。
その示しかたも、貴方が書いている方法でよいです。

(2) の定義域閉端での連続は、定義域が続いている側の偏連続性
lim(x→1+0)f(x)=f(1), lim(x→-1-0)f(x)=f(-1)
でよいだろうし、

(3) は、x=0 を定義域に含めないのだから、a≠0 を前提に
lim(x→a+0)f(x)=lim(x→a-0)f(x)=f(a)
を示せばよいです。
a が 0 に「近い」かどうかを、気にする必要はありません。
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この回答へのお礼

alice_44様

 お礼が遅れ、大変申し訳ございませんでした。
 (その後、体調を崩し入院・手術し、やっと退院しました)

お礼日時:2012/12/28 12:18

y=f(x)=xsinx について



x=a+h と x=a で、 h→0 のときに
|f(a+h)-f(a)|=|(a+h)sin(a+h)-asin(a)|=|a(sin(a+h)-sin(a))+hsin(a+h)|
<= |a||sin(a+h)-sin(a)|+|h||sin(a+h)|
<=|a||2*cos(a+h/2)*sin(h/2)|+|h|*1
<=|a|*2*|sin(h/2)| + |h|
→0

よって、

x=a で連続。
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この回答へのお礼

uyama33様

 お礼が遅れ、大変申し訳ございませんでした。
 (その後、体調を崩し入院・手術し、やっと退院しました)

お礼日時:2012/12/28 12:17

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