数学IIIのlogの積分

Question

数学IIIの不定積分の問題で、
 log(x+1)を積分する、という問題があります。

これを置換積分すると、答えが
 (x+1)logx-(x+1)+cとなってしまいました。
 でも、答えや類題では+cの前が-xになっています。

また、他サイトで見た公式には、
logxの不定積分は、
 x(logx-1)+cとなっていて、この通りに計算しても+cの前は(x+1)になるとおもうんですが…

なぜ、+cの前は-xになるのでしょうか？

noname#171951 · Accepted Answer

＞(x+1)logx-(x+1)+cとなってしまいました。

(x+1)log(x+1)-(x+1)+c
ではないですか？

なお、-1+cもxに無関係な定数ですよ。

aries_1 · Answer

∫log(x+1)dx
=∫(x+1)'log(x+1)dx
=(x+1)log(x+1)-∫(x+1){log(x+1)}'dx
=(x+1)log(x+1)-∫(x+1)*1/(x+1)dx
=(x+1)log(x+1)-∫dx
(↑∫の中身が約分できて1になる)
=(x+1)log(x+1)-x+C…(答)
補足:{log(x+1)}'=1/(x+1)
∫f(x)g(x)dx
=F(x)g(x)-∫F(x){g(x)}'dx
(↑F(x)はf(x)を積分したものを表します)

info22_ · Answer

不定積分では、積分の計算の仕方により定数分の差が出る場合があります。

特に定数の差の置換を行う場合、元の変数に戻すとき、積分定数C以外に、形式的に
定数項が加わっている場合があります。
その場合も、定数項は、積分定数（任意定数）に含め、定数項は残らないようにします。
　
　∫log(1+x)dx=∫log(u)du (1+x=uと置換,dx=du)
部分積分して
　　=ulog(u)-∫du
　　=ulog(u)-u+C
u=1+xを代入して元の変数に戻すと
　　=(1+x)log(1+x)-(1+x)+C
　　=(1+x){log(1+x)-1} +C ...(A)
括弧をばらすと
　　=(1+x)log(1*x)-x-1+C ...(B)
C-1=C'とおくと
　　=(1+x)log(1*x)-x +C' ...(C)
(A),(C)は積分定数C,C'を除いた積分結果は、(B)で分かるように「-1」の差がありますが
(A)、(C)共に正解ですが、(B)は定数項に「-1」がありますので問題があります（減点対象？）。、C-1=C'と置き換えて、定数項が積分定数だけになるように、定数項を積分定数に
含めるようにします。つまり、(C)の式のように定数項C'を積分定数だけにするのが普通です。

>logxの不定積分は、
x(logx-1)+cとなっていて、この通りに計算しても+cの前は(x+1)になるとおもうんですが

(x+1)にはなりません。
たとえなったとしても定数は積分定数に含めてしまうようにします。

private3int · Answer

実数の範囲で考えます。基本的に対数の積分は「部分積分」で計算します。
私ならこんな感じで計算します。(x+1)をxで微分すると1になることを利用して
∫log(x+1)dx = ∫(x+1)'log(x+1)dx
            = (x+1)log(x+1)-∫(x+1)(1/x+1)dx
            = (x+1)log(x+1)-∫dx
            = (x+1)log(x+1)-(x+C)
            = (x+1)log(x+1)-x+C

要するに、Cは積分定数なので、どんな実数でもOKです。
したがって、1+CをCとしてまとめても良いのです。

この思考回路は、大学で学習する「常微分方程式」で頻繁に使います。
ちなみに、微分積分学は原理さえ習得すれば計算は「慣れ」で対処できます。
頑張って精進してください。

naniwacchi · Answer

cも　-1も「定数」ですよね。
まとめてしまえば。

数学IIIのlogの積分

＞(x+1)logx-(x+1)+cとなってしまいました。

∫log(x+1)dx

不定積分では、積分の計算の仕方により定数分の差が出る場合があります。

実数の範囲で考えます。

cも -1も「定数」ですよね。

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