不等式

xy平面上で、不等式|x|≦|y|≦1の表す領域をＤ，不等式|x-1/2|≦|y-1/2|≦1の表す領域をＥとする

１）Ｄを図示せよ

２）ＤとＥの共通部分の面積を求めよ

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/11/13 17:58

＞xy平面上で、不等式|x|≦|y|≦1の表す領域をＤ，不等式|x-1/2|≦|y-1/2|≦1の表す領域をＥとする

＞１）Ｄを図示せよ
|x|≦|y|より、
ｘ≧0，ｙ≧0のとき、ｘ≦ｙより、ｙ≧ｘ
ｘ≧0，ｙ＜0のとき、ｘ≦－ｙより、ｙ≦－ｘ
ｘ＜0，ｙ≧0のとき、－ｘ≦ｙより、ｙ≧－ｘ
ｘ＜0，ｙ＜0のとき、－ｘ≦－ｙより、ｙ≦ｘ
|y|≦1より、
ｙ≧0のとき、ｙ≦1　だから、0≦ｙ≦1
ｙ＜0のとき、－ｙ≦1　だから、－1≦ｙ＜0

上の6つの不等式の領域の共通部分がＤで、

(-1,1)，(-1,-1)，(1,-1)，(1,1)を結んだ正方形に対角線を引いて、
分けた上下左右の4つの三角形の、上と下の部分。

＞２）ＤとＥの共通部分の面積を求めよ
|x-1/2|≦|yより、
ｘ≧1/2，ｙ≧1/2のとき、ｘ－1/2≦ｙ－1/2より、ｙ≧ｘ
ｘ≧1/2，ｙ＜1/2のとき、ｘ－1/2≦－ｙ＋1/2より、ｙ≦－ｘ＋1
ｘ＜1/2，ｙ≧1/2のとき、－ｘ＋1/2≦ｙ－1/2より、ｙ≧－ｘ＋1
ｘ＜1/2，ｙ＜1/2のとき、－ｘ＋1/2≦－ｙ＋1/2より、ｙ≦ｘ
|y-1/2|≦1より、
ｙ≧1/2のとき、ｙ－1/2≦1より、1/2≦ｙ≦3/2
ｙ＜1/2のとき、－ｙ＋1/2≦1より、－1/2≦ｙ＜1/2

上の6つの不等式の領域の共通部分がＥで、

(-1/2,3/2)，(-1/2,-1/2)，(3/2,-1/2)，(3/2,3/2)を結んだ正方形に対角線を引いて、
分けた上下左右の4つの三角形の、上と下の部分。

ＤとＥの共通部分は、2つの三角形
(1,0)，(1/2,1/2)，(1,1)を結んだ三角形と(0,0)，(-1/2,-1/2)，(1/2,-1/2)を結んだ三角形
よって、面積＝｛(1/2)×1×(1/2)｝×２＝1/2

図を描いてみればわかります。確認してみてください。

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/11/13 17:09

1)砂時計みたいな形。

境界を含む

2)面積1/4の三角形が2つできるから、1/2。