外積の計算をお願いします。

途中経過をお願いします。

No.8 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/11/21 08:11

ANo.6です。

前回回答に追加します。
頂点Pは△A1A2A3の両側にあるので、
↑QP=s*(↑A2×↑A3)・・・(イ)を↑QP=±s*(↑A2×↑A3)とし、
答え２を追加します。

ベクトルを↑で、外積を↑×↑で表し、頂点をPとします。
点A1(0,0,0)は原点なので、
↑A2×↑A3=(1/2, (√3)/2, 0)×(1,0,0)
=(0,0,-(√3)/2)・・・(ア)
↑A2×↑A3は大きさが△A1A2A3の面積の2倍で△A1A2A3に垂直
なベクトル。その向きは原点を中心に↑A2を↑A3に向けて回転
させたときに右ネジが進む向き。
一方、頂点Pから△A1A2A3に下ろした垂線の足は、△A1A2A3の
重心(Qとする)と一致する。
従って、sを定数として、↑QP=s*(↑A2×↑A3)・・・(イ)
まず、Qの座標を求める。
Qは、定義により点A3と線分A1A2の中点(Rとする)を結ぶ線分を
2:1に内分する点なので、↑A1Q=↑A1R+(1/3)↑RA3
↑RA3=↑A3-↑A1R、↑A1R=(1/2)↑A2なので、
↑A1Q=(2/3)↑A1R+(1/3)↑A3=(1/3)↑A2+(1/3)↑A3
=(1/3)*(1/2, (√3)/2, 0)+(1/3)*(1,0,0)
=(1/2, (√3)/6, 0)・・・(ウ)
すなわちQの座標は(1/2, (√3)/6, 0)。
次にsを求めるために正四面体の高さ(線分PQの長さ)を計算する。
PR=A3R=(√3)/2、QR=(1/3)A3R=(√3)/6
PQ=√(PR^2-QR^2)=√{(3/4)-(3/36)}=√(2/3)・・・(エ)
↑A2×↑A3の大きさは上記の通り△A1A2A3の面積の2倍なので、
|↑A2×↑A3|=A1A2*A3R=(√3)/2・・・(オ)
(イ)よりs=|↑QP|/|↑A2×↑A3|、(エ)(オ)を代入して
s={√(2/3)}/{(√3)/2}=(2√2)/3
よって(イ)(ア)より↑QP={(2√2)/3}*(↑A2×↑A3)
={(2√2)/3}*(0,0,-(√3)/2)=(0,0,-√(2/3))
↑A1P=↑A1Q+↑QP=(1/2, (√3)/6, 0)+(0,0,-√(2/3))
=(1/2, (√3)/6, -√(2/3))=(1/2, (√3)/6, -(√6)/3)
以上から正四面体の頂点は(1/2, (√3)/6, -(√6)/3)・・・答え

(以下追加です。sを-sとして）
↑QP={-(2√2)/3}*(↑A2×↑A3)
={-(2√2)/3}*(0,0,-(√3)/2)=(0,0,√(2/3))）
↑A1P=↑A1Q+↑QP=(1/2, (√3)/6, 0)+(0,0,√(2/3))
=(1/2, (√3)/6, √(2/3))=(1/2, (√3)/6, (√6)/3)
以上から正四面体の頂点は(1/2, (√3)/6, (√6)/3)・・・答え２

ご迷惑をおかけしました。
なお、別の解法で答えを確認したので、計算ミスはありません。

No.6 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/11/20 17:46

ベクトルを↑で、外積を↑×↑で表し、頂点をPとします。

点A1(0,0,0)は原点なので、
↑A2×↑A3=(1/2, (√3)/2, 0)×(1,0,0)
=(0,0,-(√3)/2)・・・(ア)
↑A2×↑A3は大きさが△A1A2A3の面積の2倍で△A1A2A3に垂直
なベクトル。その向きは原点を中心に↑A2を↑A3に向けて回転
させたときに右ネジが進む向き。
一方、頂点Pから△A1A2A3に下ろした垂線の足は、△A1A2A3の
重心(Qとする)と一致する。
従って、sを定数として、↑QP=s*(↑A2×↑A3)・・・(イ)
まず、Qの座標を求める。
Qは、定義により点A3と線分A1A2の中点(Rとする)を結ぶ線分を
2:1に内分する点なので、↑A1Q=↑A1R+(1/3)↑RA3
↑RA3=↑A3-↑A1R、↑A1R=(1/2)↑A2なので、
↑A1Q=(2/3)↑A1R+(1/3)↑A3=(1/3)↑A2+(1/3)↑A3
=(1/3)*(1/2, (√3)/2, 0)+(1/3)*(1,0,0)
=(1/2, (√3)/6, 0)・・・(ウ)
すなわちQの座標は(1/2, (√3)/6, 0)。
次にsを求めるために正四面体の高さ(線分PQの長さ)を計算する。
PR=A3R=(√3)/2、QR=(1/3)A3R=(√3)/6
PQ=√(PR^2-QR^2)=√{(3/4)-(3/36)}=√(2/3)・・・(エ)
↑A2×↑A3の大きさは上記の通り△A1A2A3の面積の2倍なので、
|↑A2×↑A3|=A1A2*A3R=(√3)/2・・・(オ)
(イ)よりs=|↑QP|/|↑A2×↑A3|、(エ)(オ)を代入して
s={√(2/3)}/{(√3)/2}=(2√2)/3
よって(イ)(ア)より↑QP={(2√2)/3}*(↑A2×↑A3)
={(2√2)/3}*(0,0,-(√3)/2)=(0,0,-√(2/3))
↑A1P=↑A1Q+↑QP=(1/2, (√3)/6, 0)+(0,0,-√(2/3))
=(1/2, (√3)/6, -√(2/3))=(1/2, (√3)/6, -(√6)/3)
以上から正四面体の頂点は(1/2, (√3)/6, -(√6)/3)・・・答え
計算ミスご容赦！

No.5 回答者： misumiss 回答日時： 2012/11/20 03:09

A_1 は原点 O (0, 0, 0) で, A_2 (1/2, (√3)/2, 0), A_3 (1, 0, 0) で, 残りの頂点 A_4 (a, b, c) を求める, ということですね。

xy-平面上に △OA_3A_2 をかいてみれば, a = 1/2 に決まってるし, b = (√3)/6 も暗算で求まります。
あとは, a^2 + b^2 + c^2 = 1 という関係式から, c = ± (√6)/3 であることも, 暗算でなんとかなりそうです。
それを, わざわざ外積を用いる意図は理解できませんが, 計算してみます（ベクトルを表す矢印は, 省略）。

OA_4 × OA_3 = (0, c, -b)
OA_4 × OA_2 = (-√3 * (c/2), c/2, √3 * (a/2) - b/2)
|| OA_4 × OA_3 || = || OA_4 × OA_2 || = (√3)/2
これらより,
a^2 = 1 - (b^2 + c^2) = 1 - 3/4 = 1/4 であり, a ＞ 0 は明らかなので, a = 1/2
また, 12b^2 + √3 * 4b - 3 = 0 が得られ, b ＞ 0 は明らかなので, b = (√3)/6
c = ± (√6)/3 は, 簡単。

この問題は外積を使って大損する例ですが, 大学入試などでは, 外積を使うと簡単に答えを求められる問題が, ときどき出題されます。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/11/19 18:53

|PA1|^2 = |PA2|^2 = |PA3|^2 を P(x,y,z) の連立二次方程式

として解けば、中学生にも解決できる問題。計算も、そう面倒でない。
だが、「方程式」と聞いただけでアナフィラキシーを起こしてしまう体質の人には、
(A1A2A3の重心)±(A1A2の長さの√(2/3)倍)・(A1A2A3の単位法線ベクトル)
あたりのやり方が、順に求めていく感じがして安心なのかもしれない。
外積 (ベクトルA1A2)×(ベクトルA1A3) で A1A2A3の法線ベクトル が出るから、
それを長さで割っておけば A1A2A3の単位法線ベクトル は求まる。
…って、アホやね。やっぱし。

この回答へのお礼

すみません、

(A1A2A3の重心)±(A1A2の長さの√(2/3)倍)・(A1A2A3の単位法線ベクトル)

の意味がわかりません。アホでも分かるようにお願いします。

お礼日時：2012/11/19 22:42

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/11/19 13:39

外積で面積が出ることを利用するのか, それとも外積で残り 1点の方向を求めるのか, どっちを期待してるんだろう.

この回答へのお礼

ご回答頂けず、残念です。

お礼日時：2012/11/19 22:38

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/11/19 11:52

底面は正三角形にはなりません。

この回答へのお礼

失礼しました。

私が自分で計算して間違っていたものを書いていました。

正しくは、

A1(0,0,0), A2(1/2, (√3)/2, 0), A3(1,0,0)

です。

お礼日時：2012/11/19 12:12

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/11/19 11:05

「A1～A3 を底面とする 1辺が 1の正四面体」って, どういうことですか?

その 3点が底面の正三角形になるような正四面体? それとも, 底面がこれら 3点で与えられる平面上にあるような正四面体?

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

「その 3点が底面の正三角形になるような正四面体」です。

残りの1点を外積で求める問題です。


よろしくお願いします。

お礼日時：2012/11/19 11:26