座標を求める問題です

図のように、X軸上の点Ｐと二点Ａ(０、６),Ｂ(７、２)を結んで
三角形ＡＢＰをつくるとき、次の問いに答えなさい。


三角形ＡＢＰが、
∠ＡＰＢ＝９０゜の直角三角形となるような
点ＰのX座標をすべて求めなさい。


答えは３、４です。
さっぱり分かりません。
周りに聞ける人がいなくて困ってます。
解説お願いします。゜(゜´Д｀゜)゜。

No.1 ベストアンサー 回答者： asuncion 回答日時： 2012/12/05 21:36

点Pの座標を(p, 0)とおく。

このとき、△ABPが直角三角形であることから、
(AP)^2 + (PB)^2 = (AB)^2
(AP)^2 = p^2 + 36
(PB)^2 = (p - 7)^2 + 4 = p^2 - 14p + 53
(AB)^2 = 49 + 16 = 65
2p^2 - 14p + 89 = 65
2p^2 - 14p + 24 = 0
p^2 - 7p + 12 = 0
(p - 3)(p - 4) = 0
p = 3, 4
∴点Pの座標は(3, 0), (4, 0)

この回答へのお礼

細かく式までありがとうございます。゜(゜´Д｀゜)゜。
私でも理解することができました！
感謝です！

お礼日時：2012/12/07 13:22

No.5 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/12/07 11:09

∠APB = 90 deg ならば直線 AP, BP の傾斜係数の積が -1 のはず、というよくある手口なら？

図を眺めると、
　(-x/6)*(7-x)/2 = -1
整理して、
　x^2 - 7x + 12 = 0
　(x-3)(x-4) = 0
　　x = 4 OR 3

作題者の狙いがよく判らず、ひとまずは一代案…。

　　

No.4 回答者： asuncion 回答日時： 2012/12/07 08:50

＞#3さん

＞…ずいぶんと、長ったらしくできるもんです。

ご自分のオリジナルな回答を示すことなく、ご指摘くださいまして、ありがとうございます。

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/12/06 13:05

>X軸上の点Ｐと二点Ａ(０、６),Ｂ(７、２)を結んで 三角形ＡＢＰをつくるとき、次の問いに答えなさい。

>三角形ＡＢＰが、∠ＡＰＢ＝９０゜の直角三角形となるような 点ＰのX座標をすべて求めなさい。

まず、点Ｐの座標は (x, 0) と表せますね。以下、#1 さんのコメントの単なるパラフレーズ。

∠APB が直角三角形なら、
　(AP 長)^2 + (BP 長)^2 = (AB 長)^2　　…(#)
が成立するはず (ピタゴラス) 。

これまた「ピタゴラス」により、
　(AP 長)^2 = x^2 + 6^2
　(BP 長)^2 = (x-7)^2 + 2^2
　(AB 長)^2 = 7^2 + (6-2)^2 = 65
らしいので、これを (#) へ代入。
　x^2 + 6^2 + (x-7)^2 + 2^2 = 65　　…(##)

(##) を整理して x を求めると？
　2x^2 - 14x + 24 = 0
　x = {7±√(49 - 48)}/2 = (7±1)/2 = 4 OR 3

ということ。
…ずいぶんと、長ったらしくできるもんです。

　　

No.2 回答者： f272 回答日時： 2012/12/05 21:43

方眼紙を使って長さを正確に、線分ABと、ABを直径とする円を書いてみたらどうかな。