ゲーム理論の問題なのですが・・・

A市は毎年一度、工事を業者 i=1,2,…,n に競争入札で発注する。各業者 i は同時に入札額 bi∈[0,∞)を提出し、最も低い額を入札した業者がその金額で工事を請け負う(同点の場合には等確率でで勝者を決める)。工事を行う費用はどの業者も同じで、3000万円であり、このことは共有知識である。入札額 bi で発注したときの業者 i の利得は bi-3000 である(敗者の利得は0)。

問い　各年の入札を一回限りの同時手番ゲームと見たときの、ナッシュ均衡における各業者の期待　　　　利得を求めよ。

自分はn人だと複雑なので、2人ゲームで具体的に考えてみました。利得は入札が相手プレイヤーに比べて

(1)低いとき→bi-3000
(2)同じとき→1/2(bi-3000)
(3)高いとき→0

と設定できると思うのですが、敗者の利得は0なので入札額の下限は3000万となりますから、結局両プレイヤーが入札する額は3000万となり、これが最適反応であると考えました。そうなると、期待利得は0になるので、これが解かと思ったのですが、いまいちスッキリしません(答えが無いので、あっているかいないのか分からないのです)。

分かる方はヒントでも良いので、是非教えていただけないでしょうか？よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： statecollege 回答日時： 2012/12/13 08:21

ついでに別解を書いておきましょう。

戦略の組は、その組から各プレイヤーが自分だけ戦略を変更しても自分の利得が増えないときナッシュ均衡といいますから、各業者が3000（万円）で入札するのがナッシュ均衡である、すなわち、
　　(b1,b2,....,bn)=(3000,3000,....,3000)
がナッシュ均衡であることを示すことにしましょう。このとき、各業者の期待利得は（3000－3000)/n＝０であることはむろんです。いま、任意の業者iをとり、彼の戦略（入札値）を３０００から上の値に変更してみると、もちろん彼の利得はゼロになって増えない。彼の戦略を３０００未満の値に変更してみると、彼が落札することになりますが、彼の利得はマイナスになって利得は減ってしまう。この事実はすべての業者にあてはまるので、上の戦略の組はナッシュ均衡だということになります。またそのときの各業者の期待利得は上記のように０です。

ANO1で、ナッシュ均衡における期待利得がいくらになるか書くのを忘れましたが、むろんゼロです。それをここで付け加えておきます。

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございました。

お礼日時：2012/12/15 14:33

No.2 回答者： statecollege 回答日時： 2012/12/13 07:43

ANO1ですが、誤植の訂正です。

業者iの最適反応関数の最初の（一番上の）式は

　　　bi = b-i -ε　 ｂ-i > 3000のとき

が正しいのでそのように直してください。（右辺のbiをｂ-iに直してください）。

No.1 回答者： statecollege 回答日時： 2012/12/13 07:34

ベルトラン寡占（競争）というのをご存じでしょう。

この問題はベルトラン競争の一種です。戦略の組は各プレイヤーの戦略が互いに相手プレイヤーの戦略の最適反応となっているとき、ナッシュ均衡といいます。ですから、各企業の最適反応関数がどうなっているか調べてみましょう。あなたの2人プレイヤーの場合で考えて見ると、業者iの最適反応関数は
　　　
　　　　　= bi -ε　　　b-i > 3000のとき
bi 　　　 = 3000 　　 b-i = 3000のとき
　　　 　= 3000 　　　 b-i < 3000のとき

となるでしょう。ただし、εは限りなく0に近い正値であり、i =1,2である. -iはiが１のときは２を、iが２のときは１を指します。つまり、各業者は相手が3000より大きい値で入札するなら、それよりほんの低い値で入札し、相手が3000あるいはそれより低い値で入札するなら、３０００で入札するのが最適であるということになる。よって、この問題では各業者の戦略biが互いに相手業者の戦略b-1の最適反応となるのは、bi=３０００, i=1,2 のとき、かつそのときに限ることになります。この結果はｎが２より大きい場合も変わらないことを示すことは容易です。あなたの解答で正しいのです。