例えば大きい立方体の天井の真ん中に
小さい立方体が乗っかって癒合している立体を考えます。
このような図形に対してオイラーの多面体定理を論じる際には、
頂点(v)・辺(e)・面(f)をどのように定義すればよいのでしょうか?
素直に数えると(v, e, f) = (16, 24, 11)となるので、
v - e + f = 3となります。
このような場合を統一的に論じるには
適切にv, e, fを定義した上で
多面体定理を拡張しないといけないと思うのですが、
私は「普通の立体は(頂点) - (辺) + (面) = 2になる」
という以上の知識をもっておりません。
その先はどうなっているのでしょうか。
どなたかご教示いただければ幸いです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
オイラーの多面体定理は凸多面体のときに成立します。
(凸の多面体は2頂点を結ぶ線分がすべてその内部にある。または、となりあう内角の和がすべて180°より小さいとき。)
(*立方体の結合されている内角の和は270°+90°=360°ですし、頂点を結ぶと外側を通りますから凹となります。)
お尋ねの立体は凸多面体ではありませんからオイラーの多面体定理は成立しません。
(v-e+f)をオイラー数と呼び同じ種類の立体では同じ値になります。
(無理に2する必要もありませんし、お尋ねの図形はオイラー数が3の立体です。)
ちなみに穴の開いた図形では穴の数を示性数gで表します。
g=1-(v-e+f)/2が成立します。
参考になるでしょうか?
ありがとうございます。
なるほど、「凸多面体では、オイラー数は2になる」というわけで、
それ以外の立体については、種類とオイラー数の関係を探究していけばよいわけですね。
よく理解できました。
No.1
- 回答日時:
調べたわけではないので自信はありませんが、
面は一続きの線(辺)で囲まれた範囲をいうのではないでしょうか。
ですからご質問の図形の場合の
大きい立方体の天井の真ん中に小さい立方体が乗っかって癒合した面は、一続きの線(辺)で囲まれた範囲ではなく、離れた2本の線によりできたもので面の定義からはずれるのではないでしょうか。
ちなみに大きい立方体の上面の1つの頂点と小さい立方体の下面の1つの頂点を結べば面の定義に当てはまり定理の式にも当てはまるのではないでしょうか。
最後に参考に、地球儀のような球面を赤道のような線で2つの面に分けると面は2、線1、頂点0となり定理が成り立たなくなりますが、
線の定義を端が必ずあり、その端が頂点と定義すれば、この場合も定理が成り立つようになります。
ありがとうございます。
こういう立体を扱う際には、凸多面体のときと同じように「面」という語を
無頓着に用いてしまってはならず、きちんと定義を与えないといけませんね。
これからきちんと調べてみますが、
その点に気づかせてくださり、ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
歩いた自慢大会
「めちゃくちゃ歩いたエピソード」を教えてください。 長時間でも長距離でも結構です。
-
フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
あなたが普段思っている「これまだ誰も言ってなかったけど共感されるだろうな」というあるあるを教えてください
-
映画のエンドロール観る派?観ない派?
映画が終わった後、すぐに席を立って帰る方もちらほら見かけます。皆さんはエンドロールの最後まで観ていきますか?
-
海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
帰国して1番食べたくなるもの、食べたくなるだろうなと思うもの、皆さんはありますか?
-
天使と悪魔選手権
悪魔がこんなささやきをしていたら、天使のあなたはなんと言って止めますか?
-
POV-Ray についての質問です!
その他(コンピューター・テクノロジー)
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・【お題】絵本のタイトル
- ・【大喜利】世界最古のコンビニについて知ってる事を教えてください【投稿~10/10(木)】
- ・メモのコツを教えてください!
- ・CDの保有枚数を教えてください
- ・ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
- ・家・車以外で、人生で一番奮発した買い物
- ・人生最悪の忘れ物
- ・【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】
- ・ハマっている「お菓子」を教えて!
- ・最近、いつ泣きましたか?
- ・夏が終わったと感じる瞬間って、どんな時?
- ・10秒目をつむったら…
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・都道府県穴埋めゲーム
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
至上最難問の数学がとけた
-
二乗同士だから、2+1.5に変え...
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
ブラウン運動の鏡像原理
-
群論 Z^*_pは原始元を含む
-
完全数はどうして「完全」と名...
-
すべての馬は同色である。
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
十分性の確認について
-
「メネラウスの定理」、学校で...
-
数理論理学に関するアロンゾ・...
-
格子点と正方形の枚数の関係
-
置換の偶奇の一意性の証明について
-
学校の世界史の先生が言ってい...
-
直角三角形
-
長さがマイナスの答えのとき、...
-
定義と定理について
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
至急です! 数学で証明について...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
至上最難問の数学がとけた
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
階差数列・群数列について
-
ファルコンの定理は解かれまし...
-
パップスギュルダンの定理について
-
modを使用した平方根の求め方
-
定理と法則の違い
-
ほうべき(方巾)の定理について
-
数A nは自然数とする。n , n+2 ...
-
「整数係数方程式の有理解の定...
-
実数の整列化について
-
至急です! 数学で証明について...
-
三角形の3辺の長さの性質の証明
-
A,Bの異なる2つの箱に異なる1...
-
二次合同式の解き方
-
長さがマイナスの答えのとき、...
-
相似比の答え方・・・
おすすめ情報