No.1ベストアンサー
- 回答日時:
N=(全自然数)
|N|=X0=(Nの濃度)
X0が可算濃度ならば
ヒルベルト空間の濃度はX0ではありません。
Hがヒルベルト空間であるとは、Hは実または複素内積空間であって、
さらに内積によって誘導される距離函数に関して完備距離空間をなすことを言います.
従って
R=(全実数)
|R|=X1=(Rの濃度)
とすると
Rはヒルベルト空間で濃度|R|=非可算X1>X0です。
ヒルベルト空間は稠密な可算濃度X0の部分集合を含むのであって
ヒルベルト空間自身の濃度は可算ではなく、非可算X1です。
Q=(全有理数)
とすると
Q⊂R
|Q|=X0
QはRで稠密
cl(Q)=R
だが
√2に収束する有理数列があるが
√2∈R-Qだから
Qは完備でないためヒルベルト空間ではありません。
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